1) Какие значения x делают функцию y=корень x+2 неизменной? 2) Какие значения x приводят к постоянному знаку функции

Конечно, давайте решим эти задачи шаг за шагом.

1) Чтобы найти значения x, которые делают функцию \(y = \sqrt{x+2}\) неизменной, нам нужно найти корни этой функции. Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:
\[0 = \sqrt{x+2}\]
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем:
\[0 = x + 2\]
\[x = -2\]
Таким образом, значение \(x = -2\) делает функцию неизменной.

2) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = |x^2-4|\) имеет постоянный знак, мы должны найти, когда выражение \(x^2-4\) положительное и когда оно отрицательное.

Когда \(x^2 - 4\) положительное, \(y = |x^2-4|\) равно \(x^2-4\). Решим уравнение \(x^2-4 > 0\):
\[x^2 > 4\]
\[x > 2 \text{ или } x <-2 \]

Когда \(x^2 - 4\) отрицательное, \(y = |x^2-4|\) равно \(-(x^2-4)\). Решим уравнение \(-(x^2-4) > 0\):
\[x^2 < 4\]
\(-2 < x < 2\)

Таким образом, значения \(x\), при которых функция \(y = |x^2-4|\) имеет постоянный знак, это \(x > 2\) и \(x < -2\), а также \(-2 < x < 2\).

3) Чтобы найти интервалы \(x\), в которых функция \(y = \sqrt{(x-1)(x-3)^2}\) постоянна, мы должны установить, когда выражение \((x-1)(x-3)^2\) равно нулю. Это произойдет только тогда, когда \(x-1 = 0\) или \((x-3)^2 = 0\).

Решим уравнение \(x-1 = 0\):
\[x = 1\]
Решим уравнение \((x-3)^2 = 0\):
\[x-3 = 0\]
\[x = 3\]

Таким образом, функция \(y = \sqrt{(x-1)(x-3)^2}\) будет постоянной на интервале \([1, 3]\).

4) Чтобы найти промежутки, где функция \(y = [x]\) постоянна, мы должны найти значения \(x\), при которых \(x\) имеет одно и то же значение округленное до ближайшего целого числа.

Различные значение \(x\) округляются до одинаковых целых значений, когда они находятся внутри одного и того же интервала между целыми числами.

Таким образом, функция \(y = [x]\) будет постоянной на каждом интервале между двумя целыми числами, например, на интервале \((2, 3)\), \([3, 4)\), \((4, 5)\) и так далее.

Я надеюсь, что это разъясняет вопросы, и что мои объяснения были достаточно подробными, чтобы быть понятными. Если возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!