1) Какие полярные координаты имеют точки A (2корень из 3; 2), B (0; -3) и C (корень из 2; -корень из 2)? 2) Каковы

1) Чтобы определить полярные координаты точки A (2√3; 2), мы должны знать расстояние от начала координат до точки A и угол, который прямая, соединяющая начало координат и точку A, образует с положительным направлением оси абсцисс.

Расстояние от начала координат до точки A можно найти с помощью формулы расстояния, используя координаты x и y точки A:

\[ r = \sqrt{(x^2 + y^2)} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, расстояние от начала координат до точки A равно 4.

Чтобы найти угол, образованный с положительным направлением оси абсцисс, мы можем использовать тангенс угла. Тангенс угла определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне в прямоугольном треугольнике, образованном точкой A и положительными осями x и y.

\[ \tan{\theta} = \frac{y}{x} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Угол получается путем нахождения арктангенса отношения:

\[ \theta = \arctan{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} \]

Подставим это в калькулятор и получим: \[ \theta \approx 30^\circ \]

Таким образом, полярные координаты точки A равны (4; 30°).

Аналогичным образом мы можем найти полярные координаты точек B (0; -3) и C (√2; -√2).

Для точки B:

Расстояние от начала координат до точки B:
\[ r = \sqrt{(x^2 + y^2)} = \sqrt{(0^2 + (-3)^2)} = \sqrt{9} = 3 \]

Угол образуется с отрицательной осью y и равен 180° или π радиан:
\[ \theta = 180^\circ = \pi \]

Полярные координаты точки B равны (3; π).

Для точки C:

Расстояние от начала координат до точки C:
\[ r = \sqrt{(x^2 + y^2)} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \]

Угол образуется с отрицательной осью x и равен -45° или -π/4 радиан:
\[ \theta = -45^\circ = -\frac{\pi}{4} \]

Полярные координаты точки C равны (2; -π/4).

Ответ: Полярные координаты точки A равны (4; 30°), точки B равны (3; π), и точки C равны (2; -π/4).

2) Чтобы определить прямоугольные координаты точек A (10; π/2) и B (2; 5π/4), нам нужно использовать преобразования между полярными и прямоугольными координатами.

Для точки A (10; π/2):

Преобразование из полярных координат в прямоугольные координаты:

\[ x = r \cdot \cos{\theta} = 10 \cdot \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 10 \cdot 0 = 0 \]
\[ y = r \cdot \sin{\theta} = 10 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 10 \cdot 1 = 10 \]

Таким образом, прямоугольные координаты точки A равны (0; 10).

Для точки B (2; 5π/4):

\[ x = r \cdot \cos{\theta} = 2 \cdot \cos{\left(\frac{5\pi}{4}\right)} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \]
\[ y = r \cdot \sin{\theta} = 2 \cdot \sin{\left(\frac{5\pi}{4}\right)} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \]

Таким образом, прямоугольные координаты точки B равны (-√2; -√2).

Ответ: Прямоугольные координаты точки A равны (0; 10), и прямоугольные координаты точки B равны (-√2; -√2).