1) Какие координаты у точки d, если точка a(-1; 3) переходит в точку b(2; 4) в результате параллельного переноса

Задача 1:
Чтобы найти координаты точки d, нам нужно учесть, что точка a переходит в точку b в результате параллельного переноса. Параллельный перенос подразумевает, что все координаты точек смещаются на одинаковое расстояние и в том же направлении.

Для начала, мы можем найти вектор смещения, который является разностью координат точек a и b:
\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2 - (-1); 4 - 3) = (3; 1)\]

Таким образом, вектор смещения равен (3; 1). Теперь, чтобы найти координаты точки d, мы должны применить этот вектор смещения к точке c:

\[\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}\]

Мы знаем, что \(\vec{CD} = \vec{AB} = (3; 1)\), поэтому мы можем записать уравнение:

\[\vec{d} - \vec{c} = (3; 1)\]

Теперь, заменив координаты точек c и d на известные значения (1; -3) и (x; y) соответственно, мы можем решить это уравнение:

\[(x; y) - (1; -3) = (3; 1)\]

Прибавив (1; -3) к обеим сторонам, получаем:

\[(x; y) = (4; -2)\]

Таким образом, координаты точки d равны (4; -2).

Задача 2:
Для построения фигуры, получающейся при повороте квадрата MNPK на 90 градусов по часовой стрелке вокруг середины одной из его сторон, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдите середину стороны квадрата. Пусть это будет точка M.

2. Определите вектор смещения от точки M до точки N (или любой другой вершины квадрата). Пусть этот вектор называется \(\vec{MN}\).

3. Получите новые координаты вершин квадрата, повернув \(\vec{MN}\) на 90 градусов по часовой стрелке. Для этого умножьте компоненты \(\vec{MN}\) на матрицу поворота на 90 градусов по часовой стрелке:

\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь применим этот алгоритм к квадрату MNPK:

1. Серединой стороны МК является точка L. Найдем ее координаты. Суммируем координаты точек М и К и делим их пополам:

\(L(x_L; y_L) = \left(\frac{{x_M + x_K}}{2}; \frac{{y_M + y_K}}{2}\right)\)

\(L(x_L; y_L) = \left(\frac{{1 + 2}}{2}; \frac{{3 + 4}}{2}\right)\)

\(L(x_L; y_L) = \left(\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right)\)

Точка L имеет координаты (3/2; 7/2).

2. Теперь найдем вектор смещения \(\vec{MK}\):

\(\vec{MK} = \vec{K} - \vec{M} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)\)

3. Повторим этот вектор на 90 градусов по часовой стрелке, умножив его на матрицу поворота:

\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix}
\]

Таким образом, новые координаты вершин квадрата равны:

\(N"(x_N"; y_N") = \left(x_L + 1; y_L - 1\right) = \left(\frac{3}{2} + 1; \frac{7}{2} - 1\right) = \left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right)\)

\(K"(x_K"; y_K") = \left(x_L - 1; y_L - 1\right) = \left(\frac{3}{2} - 1; \frac{7}{2} - 1\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right)\)

\(M"(x_M"; y_M") = \left(x_L - 1; y_L + 1\right) = \left(\frac{3}{2} - 1; \frac{7}{2} + 1\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{9}{2}\right)\)

\(P"(x_P"; y_P") = \left(x_L + 1; y_L + 1\right) = \left(\frac{3}{2} + 1; \frac{7}{2} + 1\right) = \left(\frac{5}{2}; \frac{9}{2}\right)\)

Таким образом, фигура, получающаяся при повороте квадрата MNPK на 90 градусов по часовой стрелке вокруг середины стороны, является четырехугольником с вершинами в точках \(\left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{9}{2}\right)\) и \(\left(\frac{5}{2}; \frac{9}{2}\right)\).