1. Какие из следующих точек лежат: а) на плоскости оуz; б) на оси ох; в) на плоскости охг? Точки даны: м(7; 6

1. Для решения данной задачи нам необходимо проанализировать координаты точек и определить, на каких плоскостях и осях лежат данные точки.

а) Плоскость Oyz - это плоскость, проходящая через ось Oy и ось Oz. Для того чтобы точка лежала на плоскости Oyz, ее координата x должна быть равна нулю. Из данных точек только точка c(0; 2; 3) удовлетворяет этому условию.

б) Ось Ox - это ось, проходящая через начало координат O и параллельная плоскости Oyz. Для того чтобы точка лежала на оси Ox, ее координаты y и z должны быть равны нулю. Из данных точек только точка d(4; 0; 0) удовлетворяет этому условию.

в) Плоскость Oxz - это плоскость, проходящая через ось Ox и ось Oz. Для того чтобы точка лежала на плоскости Oxz, ее координата y должна быть равна нулю. Из данных точек только точка d(4; 0; 0) удовлетворяет этому условию.

Итак, точки, лежащие на заданных плоскостях и осях:

а) Точка c(0; 2; 3) лежит на плоскости Oyz.
б) Точка d(4; 0; 0) лежит на оси Ox и на плоскости Oxz.

2. Для определения расстояния от точки M(2; 3; 4) до различных элементов системы координат, используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

а) Расстояние от точки M до координатных плоскостей можно найти, заменяя соответствующую координату точки нулем и находя расстояние между точкой M и новой точкой на плоскости.

От точки M до плоскости Oyz: заменяем координату x точки M нулем и находим расстояние между точкой M(0; 3; 4) и плоскостью Oyz. Расстояние равно \(\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

От точки M до плоскости Oxz: заменяем координату y точки M нулем и находим расстояние между точкой M(2; 0; 4) и плоскостью Oxz. Расстояние равно \(\sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4,47\).

От точки M до плоскости Oxy: заменяем координату z точки M нулем и находим расстояние между точкой M(2; 3; 0) и плоскостью Oxy. Расстояние равно \(\sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3,61\).

б) Расстояние от точки M до осей координат можно найти, заменяя соответствующие координаты точки нулем и находя расстояние между точкой M и новой точкой на оси.

От точки M до оси Ox: заменяем координаты y и z точки M нулями и находим расстояние между точкой M(2; 0; 0) и осью Ox. Расстояние равно \(\sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\).

От точки M до оси Oy: заменяем координаты x и z точки M нулями и находим расстояние между точкой M(0; 3; 0) и осью Oy. Расстояние равно \(\sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3\).

От точки M до оси Oz: заменяем координаты x и y точки M нулями и находим расстояние между точкой M(0; 0; 4) и осью Oz. Расстояние равно \(\sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4\).

в) Расстояние от точки M до начала координат (точка O(0; 0; 0)) равно \(\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \approx 5,39\).

3. Для нахождения точки P(0; 0; g), находящейся на одинаковом расстоянии от точек C(-3; 2; 1) и D(4; 0; 0) на оси Oz, используем основное свойство точек, находящихся на одинаковом расстоянии от двух данн
ых точек. Расстояние между точками C и P должно быть равно расстоянию между точками D и P.

Расстояние между точками C и P: \(\sqrt{(-3-0)^2 + (2-0)^2 + (1-g)^2} = \sqrt{9 + 4 + (1-g)^2} = \sqrt{13 + (1-g)^2}\)
Расстояние между точками D и P: \(\sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-g)^2} = \sqrt{16 + 0 + (0-g)^2} = \sqrt{16 + (0-g)^2}\)

Поскольку расстояния равны, получаем уравнение:
\(\sqrt{13 + (1-g)^2} = \sqrt{16 + (0-g)^2}\).

Для решения данного уравнения, возводим обе части уравнения в квадрат:
\(13 + (1-g)^2 = 16 + (0-g)^2\).

Раскрываем скобки:
\(13 + 1 - 2g + g^2 = 16 + 0 - 2g + g^2\).

Упрощаем выражение и переносим все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а с числами в другую:
\(14 - 16 = 2g - 2g + g^2 - g^2\).

\(-2 = 0\).

Уравнение не имеет решений. То есть, не существует такой точки P, которая находится на одинаковом расстоянии от точек C и D на оси Oz.