Какова площадь основания конуса, если плоскость пересекает его таким образом, что она перпендикулярна высоте конуса

Для решения этой задачи нам понадобится использовать основные свойства конусов.


1. Первое свойство: плоскость, проведенная через вершину конуса и параллельная основанию, образует сечение, являющееся масштабированным подобным изображением основания конуса. То есть, площадь сечения будет пропорциональна квадрату линейных размеров основания.


2. Второе свойство: если плоскость пересекает боковую поверхность конуса, то площадь сечения будет равной площади подобного треугольника.


Теперь применим эти свойства для решения задачи:


Дано, что плоскость пересекает высоту конуса таким образом, что она делит ее на отрезки в пропорции 1:3. Из этого следует, что соотношение длин отрезков высоты будет равно \(1:3\).

Если мы обозначим полную длину высоты конуса как \(h\), то первый отрезок будет равен \(\frac{h}{4}\), а второй отрезок будет равен \(\frac{3h}{4}\).

Теперь обратимся к основанию конуса. Из первого свойства мы знаем, что площадь сечения будет пропорциональна квадрату линейных размеров основания.

Из условия задачи нам известно, что площадь сечения равна \(S\). Обозначим сторону квадрата, подобного этому сечению, как \(x\). Тогда площадь основания будет равна \(x^2\).

Теперь воспользуемся вторым свойством конусов: площадь сечения, пересекающего боковую поверхность конуса, будет равна площади подобного треугольника.

Согласно условию задачи, площадь сечения равна \(S\). Обозначим катеты подобного треугольника как \(a\) и \(b\). Тогда площадь треугольника будет равна \(\frac{1}{2}ab\).

Мы знаем, что в сечении катет \(b\) равен длине отрезка второй части высоты, то есть \(\frac{3h}{4}\). Катет \(a\) будет равен длине отрезка первой части высоты, а это \(\frac{h}{4}\).

Таким образом, площадь сечения равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{h}{4} \cdot \frac{3h}{4}\).

Теперь мы можем записать итоговое уравнение: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{h}{4} \cdot \frac{3h}{4} = S\).

Для решения этого уравнения найдем площадь основания конуса, подставив известные значения и решив уравнение относительно \(x^2\).


\(\frac{1}{8} \cdot \frac{3h^2}{4} = S\).

\(\frac{3h^2}{32} = S\).

\(\frac{h^2}{32} = \frac{S}{3}\).

\(h^2 = \frac{32S}{3}\).

Теперь найдем \(x^2\) (площадь основания) с помощью первого свойства конусов и полученного значения \(h^2\).

\(x^2 = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{32S}{3}\).

\(x^2 = \frac{32S^2}{3h^2}\).

Подставим значение \(h^2\).

\(x^2 = \frac{32S^2}{3 \cdot \frac{32S}{3}}\).

\(x^2 = \frac{32S^2}{32S}\).

\(x^2 = S\).

Таким образом, площадь основания конуса равна площади сечения, которая указана в условии задачи. Значит, ответ на задачу: площадь основания конуса равна \(S\).