1) Какие функции натурального аргумента соответствуют арифметической и геометрической прогрессиям, если рассматривать

1) Функции натурального аргумента, которые соответствуют арифметической и геометрической прогрессиям при рассмотрении их в контексте непрерывности, можно описать следующим образом:

Для арифметической прогрессии:
Пусть первый член прогрессии равен \(a\) и разность равна \(d\). Тогда функция, соответствующая арифметической прогрессии, будет иметь вид:
\[f(n) = a + (n - 1) \cdot d\]
где \(n\) - натуральное число, а \(f(n)\) - значение функции при данном значенияе \(n\).

Обоснование:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную разность \(d\). Если рассмотреть график этой функции на декартовой плоскости, то это будет прямая линия, которая проходит через точку \((1, a)\) и имеет угловой коэффициент \(d\). Функция \(f(n)\) задает значения на этой прямой для натуральных значений \(n\).

Для геометрической прогрессии:
Пусть первый член прогрессии равен \(a\) и знаменатель равен \(r\). Тогда функция, соответствующая геометрической прогрессии, будет иметь вид:
\[g(n) = a \cdot r^{(n-1)}\]
где \(n\) - натуральное число, а \(g(n)\) - значение функции при данном значении \(n\).

Обоснование:
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \(r\), называемое знаменателем. Если рассмотреть график этой функции на декартовой плоскости, то это будет экспоненциальный рост или убывание в зависимости от значения \(r\). Функция \(g(n)\) задает значения этой экспоненты для натуральных значений \(n\).

2) Свойства монотонности арифметической и геометрической прогрессий зависят от их первого члена, разности/знаменателя и шага (направления изменения разности/знаменателя).

Свойства монотонности арифметической прогрессии:
- Если разность \(d\) положительна, то все члены прогрессии будут увеличиваться. Прогрессия будет возрастающей (монотонно возрастающей).
- Если разность \(d\) отрицательна, то все члены прогрессии будут убывать. Прогрессия будет убывающей (монотонно убывающей).
- Если разность \(d\) равна нулю, то все члены прогрессии будут равны между собой. Прогрессия будет постоянной (монотонно постоянной).

Свойства монотонности геометрической прогрессии:
- Если знаменатель \(r\) положителен и больше 1, то все члены прогрессии будут увеличиваться. Прогрессия будет возрастающей (монотонно возрастающей).
- Если знаменатель \(r\) положителен и меньше 1, то все члены прогрессии будут убывать. Прогрессия будет убывающей (монотонно убывающей).
- Если знаменатель \(r\) равен 1, то все члены прогрессии будут равны между собой. Прогрессия будет постоянной (монотонно постоянной).

Обоснование:
Монотонность прогрессии зависит от того, как меняются ее члены. В арифметической прогрессии, разность \(d\) определяет величину и направление изменения каждого члена. В геометрической прогрессии, знаменатель \(r\) определяет множитель, на который умножается каждый член для получения следующего. Зная эти параметры, можно сделать выводы о монотонности прогрессий в зависимости от их значений.