1) Какие функции натурального аргумента соответствуют арифметической и геометрической прогрессиям, если рассматривать

1) Функции натурального аргумента, которые соответствуют арифметической и геометрической прогрессиям при рассмотрении их в контексте непрерывности, можно описать следующим образом:

Для арифметической прогрессии:
Пусть первый член прогрессии равен $a$ и разность равна $d$. Тогда функция, соответствующая арифметической прогрессии, будет иметь вид:
$$f(n)=a+(n-1)\cdot d$$
где $n$ - натуральное число, а $f(n)$ - значение функции при данном значенияе $n$.

Обоснование:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную разность $d$. Если рассмотреть график этой функции на декартовой плоскости, то это будет прямая линия, которая проходит через точку $(1,a)$ и имеет угловой коэффициент $d$. Функция $f(n)$ задает значения на этой прямой для натуральных значений $n$.

Для геометрической прогрессии:
Пусть первый член прогрессии равен $a$ и знаменатель равен $r$. Тогда функция, соответствующая геометрической прогрессии, будет иметь вид:
$$g(n)=a\cdot r^{(n-1)}$$
где $n$ - натуральное число, а $g(n)$ - значение функции при данном значении $n$.

Обоснование:
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число $r$, называемое знаменателем. Если рассмотреть график этой функции на декартовой плоскости, то это будет экспоненциальный рост или убывание в зависимости от значения $r$. Функция $g(n)$ задает значения этой экспоненты для натуральных значений $n$.

2) Свойства монотонности арифметической и геометрической прогрессий зависят от их первого члена, разности/знаменателя и шага (направления изменения разности/знаменателя).

Свойства монотонности арифметической прогрессии:
- Если разность $d$ положительна, то все члены прогрессии будут увеличиваться. Прогрессия будет возрастающей (монотонно возрастающей).
- Если разность $d$ отрицательна, то все члены прогрессии будут убывать. Прогрессия будет убывающей (монотонно убывающей).
- Если разность $d$ равна нулю, то все члены прогрессии будут равны между собой. Прогрессия будет постоянной (монотонно постоянной).

Свойства монотонности геометрической прогрессии:
- Если знаменатель $r$ положителен и больше 1, то все члены прогрессии будут увеличиваться. Прогрессия будет возрастающей (монотонно возрастающей).
- Если знаменатель $r$ положителен и меньше 1, то все члены прогрессии будут убывать. Прогрессия будет убывающей (монотонно убывающей).
- Если знаменатель $r$ равен 1, то все члены прогрессии будут равны между собой. Прогрессия будет постоянной (монотонно постоянной).

Обоснование:
Монотонность прогрессии зависит от того, как меняются ее члены. В арифметической прогрессии, разность $d$ определяет величину и направление изменения каждого члена. В геометрической прогрессии, знаменатель $r$ определяет множитель, на который умножается каждый член для получения следующего. Зная эти параметры, можно сделать выводы о монотонности прогрессий в зависимости от их значений.