1) Какие функции натурального аргумента могут соответствовать арифметической и геометрической прогрессиям? 2) Какие

1) Арифметическая и геометрическая прогрессии - это два различных типа числовых последовательностей. Давайте разберемся, какие функции могут описывать эти последовательности.

- Арифметическая прогрессия:
Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего путем добавления одного и того же числа, называемого разностью. Общая формула арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Функция, описывающая арифметическую прогрессию, будет иметь вид: \(f(n) = a_1 + (n - 1) \cdot d\), где \(f(n)\) - значение n-ого члена прогрессии в зависимости от значения \(n\).

- Геометрическая прогрессия:
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего путем умножения на одно и то же число, называемое знаменателем. Общая формула геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot r^{(n - 1)}\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Функция, описывающая геометрическую прогрессию, будет иметь вид: \(f(n) = a_1 \cdot r^{(n - 1)}\), где \(f(n)\) - значение n-ого члена прогрессии в зависимости от значения \(n\).

Итак, функции натурального аргумента, которые могут соответствовать арифметической и геометрической прогрессиям, соответственно, выглядят следующим образом:
- Для арифметической прогрессии: \(f(n) = a_1 + (n - 1) \cdot d\).
- Для геометрической прогрессии: \(f(n) = a_1 \cdot r^{(n - 1)}\).

2) Теперь давайте рассмотрим выводы о монотонности арифметической и геометрической прогрессий, учитывая значения первого члена, разности и знаменателей.

- Арифметическая прогрессия:
В арифметической прогрессии при положительном значении разности (\(d > 0\)) каждый следующий член будет больше предыдущего, а при отрицательном значении разности (\(d < 0\)) каждый следующий член будет меньше предыдущего. Таким образом, арифметическая прогрессия может быть как возрастающей, так и убывающей.

- Геометрическая прогрессия:
В геометрической прогрессии при положительном значении знаменателя (\(r > 0\)) каждый следующий член будет больше предыдущего, а при отрицательном значении знаменателя (\(r < 0\)) каждый следующий член будет меньше предыдущего. При этом, если модуль знаменателя \(|r| < 1\), то геометрическая прогрессия будет убывающей, а если \(|r| > 1\), то геометрическая прогрессия будет возрастающей. Если \(|r| = 1\), то прогрессия будет стационарной.

Таким образом, выводы о монотонности арифметической и геометрической прогрессий сводятся к следующему:
- Арифметическая прогрессия может быть как возрастающей, так и убывающей, в зависимости от значения разности.
- Геометрическая прогрессия может быть возрастающей, убывающей или стационарной, в зависимости от значения знаменателя.