1. Какая площадь полной поверхности цилиндра, если в него вписан шар радиусом 8? 2. Чему равна площадь осевого сечения

1. Для решения данной задачи, нам потребуется формула для нахождения площади полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.

Площадь одного основания цилиндра равна площади круга, и может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{основания}} = \pi \cdot r^2\]
где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, а \(r\) - радиус шара, вписанного в цилиндр.

Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, площадь которого можно вычислить, умножив периметр основания на высоту цилиндра. Периметр прямоугольника равен длине окружности основания цилиндра, и может быть вычислен по формуле:
\[P_{\text{прямоугольника}} = 2 \pi r\]
где \(r\) - радиус шара, вписанного в цилиндр, и \(\pi\) - математическая константа.

Высоту цилиндра мы не знаем, но можем получить ее, используя радиус шара. Радиус цилиндра равен радиусу шара, то есть 8.

Теперь, имея все необходимые формулы и значения, мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра:
\[
S_{\text{поверхности цилиндра}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} + P_{\text{прямоугольника}} \cdot h
\]
где \(h\) - высота цилиндра.

У нас уже есть значения для \(S_{\text{основания}}\), \(P_{\text{прямоугольника}}\) и радиуса цилиндра, поэтому мы можем подставить их в формулу и вычислить площадь полной поверхности цилиндра.

2. Чтобы узнать площадь осевого сечения конуса, вначале найдем площадь основания конуса. Площадь основания конуса равна площади круга, и может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{основания конуса}} = \pi \cdot r^2\]
где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, а \(r\) - радиус основания конуса.

Затем, воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти радиус вписанной в конус сферы. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) выполняется следующее соотношение:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, один катет равен радиусу основания конуса (6), а другой катет - радиусу вписанной сферы (3). Подставим известные значения в теорему Пифагора и решим уравнение:
\[6^2 = 3^2 + r^2\]
\[36 = 9 + r^2\]
\[r^2 = 27\]
\[r = \sqrt{27}\]

Теперь, имея значения радиуса основания конуса и радиуса вписанной в него сферы, мы можем вычислить площадь осевого сечения конуса. Площадь осевого сечения конуса представляет собой площадь круга, смещенного относительно центра основания конуса на радиус вписанной сферы. Площадь можно найти по формуле:
\[S_{\text{осевого сечения}} = \pi \cdot (r_{\text{основания}}^2 - r_{\text{вписанной сферы}}^2)\]

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь осевого сечения конуса.

3. Чтобы найти площадь поверхности шара и площадь полной поверхности цилиндра, нужно найти радиус шара и высоту цилиндра. Далее, мы можем использовать соответствующие формулы для нахождения площади поверхности шара и цилиндра.

Для начала, зная угол между диагоналями осевого сечения, мы можем найти высоту цилиндра. Угол между диагоналями осевого сечения равен 60°, и поскольку диагонали цилиндра являются радиусами вписанного шара, мы можем использовать формулу:

\[h = 2r \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\]
где \(r\) - радиус вписанного шара, а \(\alpha\) - угол между диагоналями осевого сечения.

Далее, чтобы найти радиус шара, мы можем использовать формулу диагонали осевого сечения цилиндра, равной двум радиусам шара:

\[d = 2r\]
где \(d\) - диагональ осевого сечения цилиндра, а \(r\) - радиус шара.

Подставляем выразившееся из этого уравнение значение \(r\) в формулу площади поверхности шара:

\[S_{\text{шара}} = 4\pi r^2\]

Теперь, имея значения \(h\) и \(r\), мы можем найти высоту цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности, которую мы можем найти, умножив периметр основания на высоту цилиндра.

Периметр основания равен длине окружности, и может быть найден по формуле:

\[P_{\text{прямоугольника}} = 2 \pi r\]

Теперь, имея значения для \(S_{\text{шара}}\), \(S_{\text{поверхности цилиндра}}\), \(P_{\text{прямоугольника}}\) и \(h\), мы можем вычислить площадь поверхности шара и полную поверхность цилиндра.

4. Для нахождения площади поверхности шара, вначале найдем радиус шара. Радиус шара равен радиусу основания вписанного в него конуса, и может быть найден по формуле:
\[r = \sqrt{h^2 + r_{\text{основания}}^2}\]
где \(h\) - высота конуса, \(r_{\text{основания}}\) - радиус основания конуса.

Затем, используя найденный радиус, мы можем найти площадь поверхности шара, по формуле:
\[S_{\text{шара}} = 4\pi r^2\]

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь поверхности шара.

5. Чтобы узнать площадь поверхности шара, в который вписана пирамида, сначала найдем радиус шара. Радиус шара равен половине диагонали основания пирамиды и может быть найден по формуле:
\[r = \frac{D}{2}\]
где \(D\) - диагональ основания пирамиды.

Найдем площадь поверхности шара, используя найденный радиус и формулу для площади поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 4\pi r^2\]

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь поверхности шара.