1. Как найти длину диагонали призмы с основанием в виде прямоугольника, угол между диагональю и плоскостью основания

Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Для нахождения длины диагонали призмы с основанием в виде прямоугольника, угол между диагональю и плоскостью основания которой составляет 60 градусов, нужно воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

В данной задаче, прямоугольник является прямоугольным треугольником, где его стороны равны 3 см и 4 см. У нас есть угол 60 градусов, который является углом между гипотенузой треугольника (диагональю призмы) и одним из катетов (прямоугольником).

Мы можем найти гипотенузу треугольника, используя формулу косинуса. Пусть длина гипотенузы будет \(d\), длина первой стороны (3 см) будет \(a\) и длина второй стороны (4 см) будет \(b\). Угол между сторонами \(a\) и \(b\) составляет 60 градусов.

Формула косинуса имеет следующий вид:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{60^\circ}}\]

Подставив значения, получим:
\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}}\]

Решив это уравнение, получим:
\[d = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}}\]
\[d = \sqrt{25 - 12}\]
\[d = \sqrt{13}\]

Таким образом, длина диагонали призмы равна \(\sqrt{13}\) см.

2. Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, у которой стороны основания равны 7 см, 5 см и 4 см, а высота равна высоте основания, опущенной на четную сторону, нужно воспользоваться формулой для объема призмы.

Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы. В этой задаче, основание призмы является треугольником, поэтому нужно найти его площадь.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Где \(a\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

В данной задаче, стороны основания треугольника равны 7 см, 5 см и 4 см, а высота равна высоте основания, опущенной на четную сторону. Поскольку это треугольник равносторонний, высота проходит через центр основания и делит его на два равных треугольника. Высота равна стороне треугольника и равна 7 см.

Подставим значения в формулу и найдем площадь основания:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 49\]
\[S = 24.5\]

Теперь, чтобы найти объем призмы, нужно умножить площадь основания на высоту призмы. Поскольку высота призмы равна высоте основания, объем будет равен:
\[V = S \cdot h\]
\[V = 24.5 \cdot 7\]
\[V = 171.5\]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен 171.5 кубическим сантиметрам.

3. Для нахождения площади полной поверхности правильной четырехугольной призмы, у которой диагональ основания равна 5 см, а диагональ призмы равна 13 см, нужно разбить призму на два треугольника и четыре прямоугольника. Затем нужно найти площади этих фигур и сложить их.

Рассмотрим прямоугольники, образованные основанием призмы. У нас есть длина диагонали основания (5 см), поэтому мы можем найти размеры этих прямоугольников. Пусть стороны прямоугольников будут \(a\) и \(b\).

Вспомним теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее равенство:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

В данной задаче, у нас есть только длина диагонали основания (5 см). Ее можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника. Пусть \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Подставив значения, получим:
\[5^2 = 3^2 + 4^2\]
\[25 = 9 + 16\]
\[25 = 25\]

Таким образом, наше предположение о размерах прямоугольников верно. Стороны прямоугольников равны 3 см и 4 см.

Теперь найдем площади этих двух прямоугольников. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его длину на ширину.

Площадь первого прямоугольника:
\[S_1 = 3 \cdot 4\]
\[S_1 = 12\]

Площадь второго прямоугольника:
\[S_2 = 3 \cdot 4\]
\[S_2 = 12\]

Теперь рассмотрим треугольники, образованные диагональю призмы. У нас есть длина диагонали призмы (13 см), которая является гипотенузой треугольников. Пусть высота треугольников будет \(h\).

Мы можем найти высоту треугольника, используя теорему Пифагора. Пусть длины катетов треугольника равны 3 см и 4 см (это уже было выяснено в предыдущей задаче). Подставив значения, получим:
\[13^2 = 3^2 + h^2\]
\[169 = 9 + h^2\]
\[h^2 = 160\]
\[h = \sqrt{160}\]

Таким образом, высота треугольника равна \(\sqrt{160}\) см.

Теперь найдем площади этих двух треугольников. Площадь треугольника можно найти, умножив половину произведения его основания на высоту.

Площадь первого треугольника:
\[S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{160}\]
\[S_3 = \frac{3}{2} \sqrt{160}\]
\[S_3 \approx 18.97\]

Площадь второго треугольника:
\[S_4 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{160}\]
\[S_4 = 2 \sqrt{160}\]
\[S_4 \approx 31.75\]

Теперь сложим площади всех четырех фигур, чтобы найти площадь полной поверхности призмы:
\[S_{\text{полная}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4\]
\[S_{\text{полная}} \approx 12 + 12 + 18.97 + 31.75\]
\[S_{\text{полная}} \approx 74.72\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна примерно 74.72 квадратным сантиметрам.

4. Чтобы найти длину диагонали боковой грани правильной треугольной призмы, нужно воспользоваться теоремой Пифагора.

Правильная треугольная призма состоит из равностороннего треугольника в основании. Пусть сторона треугольника равна \(a\).

Чтобы найти диагональ боковой грани, нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами треугольника основания и диагональю.

При применении теоремы Пифагора, мы имеем:
\[c^2 = a^2 + a^2\]
\[c^2 = 2a^2\]
\[c = \sqrt{2a^2}\]
\[c = a\sqrt{2}\]

Таким образом, длина диагонали боковой грани правильной треугольной призмы равна \(a\sqrt{2}\).