Докажите, что для всех точек C и D в пространстве выполняется равенство CB-CA = DB-DA, если даны точки A

, B, C и D в пространстве.

Для начала, предположим, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма ABCD. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Теперь рассмотрим векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{CD}\). Вектор \(\vec{AB}\) показывает направление от точки A к точке B и т.д.

По определению векторов, мы можем записать:

\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
\(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\)
\(\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}\)
\(\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}\)

Теперь давайте заменим в исходном уравнении CB-CA = DB-DA векторы на их определения:

\(\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{DB} - \vec{DA}\)

Подставим значения \(\vec{CB}\), \(\vec{CA}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{DA}\):

\((\vec{B} - \vec{C}) - (\vec{A} - \vec{C}) = (\vec{B} - \vec{D}) - (\vec{A} - \vec{D})\)

Раскроем скобки:

\(\vec{B} - \vec{C} - \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} - \vec{D} - \vec{A} + \vec{D}\)

Теперь объединим похожие векторы:

\(\vec{B} - \vec{A} - \vec{C} + \vec{C} = \vec{B} - \vec{A} - \vec{D} + \vec{D}\)

Отменяем одинаковые векторы:

\(\vec{B} - \vec{A} = \vec{B} - \vec{A}\)

Таким образом, мы получили равенство \(\vec{B} - \vec{A} = \vec{B} - \vec{A}\).

Это означает, что для всех точек C и D в пространстве выполняется равенство CB-CA = DB-DA, если даны точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма ABCD.

Однако, необходимо отметить, что данное доказательство справедливо только для вершин параллелограмма ABCD. Если точки C и D не являются вершинами параллелограмма, доказательство может не быть выполнено.