1) Как можно решить уравнение x^2-4x+3=0 с помощью преобразования выделение полного квадрата двучлена?

Для решения уравнений с использованием преобразования выделения полного квадрата двучлена, мы должны привести уравнение к следующему виду: \((x-a)^2=b\), где \(a\) - это половина коэффициента при \(x\) в исходном уравнении, а \(b\) - остаток после преобразования.

1) Давайте решим уравнение \(x^2-4x+3=0\) с помощью преобразования выделения полного квадрата двучлена:

Для начала, найдем половину коэффициента при \(x\), то есть \(a = \frac{-4}{2}=-2\).

Затем, возведем эту половину в квадрат: \(a^2=(-2)^2=4\).

Теперь, добавим эту величину к обоим сторонам уравнения: \(x^2-4x+4+3=4\).

Теперь сгруппируем первые три члена в квадратный трехчлен: \((x-2)^2=1\).

Отсюда следует, что \((x-2)^2=1\), а значит \(x-2=1\) или \(x-2=-1\).

Решим оба уравнения по отдельности:

Для первого случая, добавим 2 к обеим сторонам уравнения: \(x=1+2=3\).

Для второго случая, также добавим 2 к обеим сторонам уравнения: \(x=-1+2=1\).

Итак, уравнение \(x^2-4x+3=0\) имеет два решения: \(x=3\) и \(x=1\).

2) Применим тот же метод для уравнения \(x^2-6x+5=0\):

Вычисляем \(a = \frac{-6}{2}=-3\).

Возводим его в квадрат: \(a^2=(-3)^2=9\).

Добавляем 9 к обеим сторонам уравнения: \(x^2-6x+9+5=9\).

Группируем первые три члена: \((x-3)^2=4\).

Решим полученное уравнение: \((x-3)^2=4\) означает, что \(x-3=2\) или \(x-3=-2\).

Добавим 3 к обеим сторонам для первого случая: \(x=2+3=5\).

Добавим 3 к обеим сторонам для второго случая: \(x=-2+3=1\).

Итак, уравнение \(x^2-6x+5=0\) имеет два решения: \(x=5\) и \(x=1\).

3) Перейдем к уравнению \(x^2+8x-20=0\):

Найдем \(a = \frac{8}{2}=4\).

Возведем его в квадрат: \(a^2=4^2=16\).

Добавим 16 к обеим сторонам уравнения: \(x^2+8x+16-20=16\).

Сгруппируем первые три члена: \((x+4)^2=36\).

Теперь полученное уравнение \((x+4)^2=36\) можно решить:

Извлечем квадратный корень из обеих сторон: \(x+4=\pm\sqrt{36}\).

Упростим: \(x+4=\pm6\).

Для первого случая: вычтем 4 из обеих сторон уравнения: \(x=6-4=2\).

Для второго случая: вычтем 4 из обеих сторон уравнения: \(x=-6-4=-10\).

Таким образом, уравнение \(x^2+8x-20=0\) имеет два решения: \(x=2\) и \(x=-10\).

4) В решении уравнения \(x^2+12x+32=0\) мы также можем использовать преобразование выделения полного квадрата двучлена:

Вычисляем \(a = \frac{12}{2}=6\).

Возводим его в квадрат: \(a^2=6^2=36\).

Добавляем 36 к обеим сторонам уравнения: \(x^2+12x+36+32=36\).

Группируем первые три члена: \((x+6)^2=4\).

При получении такого уравнения \((x+6)^2=4\), мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон: \(x+6=\pm\sqrt{4}\).

Упростим: \(x+6=\pm2\).

Но здесь мы получаем два уравнения \(x+6=2\) и \(x+6=-2\) и после решения каждого из них получаем: \(x=-4\) и \(x=-8\).

Для уравнения \(x^2+12x+32=0\) существуют два решения: \(x=-4\) и \(x=-8\).

5) Наконец, применим метод выделения полного квадрата двучлена для уравнения \(x^2-2x-15=0\):

Найдем \(a = \frac{-2}{2}=-1\).

Возводим его в квадрат: \(a^2=(-1)^2=1\).

Добавляем 1 к обеим сторонам уравнения: \(x^2-2x+1-15=1\).

Группируем первые три члена: \((x-1)^2=16\).

Решим полученное уравнение \((x-1)^2=16\):

Извлечем квадратный корень из обеих сторон: \(x-1=\pm\sqrt{16}\).

Упростим: \(x-1=\pm4\).

Для первого случая: добавим 1 к обеим сторонам: \(x=4+1=5\).

Для второго случая: добавим 1 к обеим сторонам: \(x=-4+1=-3\).

Таким образом, уравнение \(x^2-2x-15=0\) имеет два решения: \(x=5\) и \(x=-3\).

6) Преобразование выделения полного квадрата двучлена может использоваться для уравнений любого вида, где уровень сложности не вызывает дополнительных затруднений при решении. В данном случае, мы решим уравнение \(x^2-10x+24=0\) с помощью преобразования:

Найдем \(a = \frac{-10}{2}=-5\).

Возводим его в квадрат: \(a^2=(-5)^2=25\).

Добавляем 25 к обеим сторонам уравнения: \(x^2-10x+25+24=25\).

Группируем первые три члена: \((x-5)^2=1\).

Решим полученное уравнение \((x-5)^2=1\):

Извлечем квадратный корень из обеих сторон: \(x-5=\pm\sqrt{1}\).

Упростим: \(x-5=\pm1\).

Для первого случая: добавим 5 к обеим сторонам: \(x=1+5=6\).

Для второго случая: добавим 5 к обеим сторонам: \(x=-1+5=4\).

Таким образом, уравнение \(x^2-10x+24=0\) имеет два решения: \(x=6\) и \(x=4\).

Это подробное решение уравнений с использованием преобразования выделения полного квадрата двучлена. Надеюсь, что объяснения и пошаговые решения помогли вам лучше понять этот метод. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи в учебе!