1) Как изменяется положение точки, движущейся вдоль оси x со временем, если координата x задается уравнением x = 7

Задача 1:
У нас дано уравнение \(x = 7 + 4t + 4t^2\), где x - координата точки на оси x в зависимости от времени t.

Чтобы узнать, как изменяется положение точки с течением времени, мы можем взять первую производную по времени от этого уравнения. Для этого нужно продифференцировать каждый член выражения по t:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (7 + 4t + 4t^2)\)

Продифференцируем каждый член по отдельности:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} 7 + \frac{{d}}{{dt}} 4t + \frac{{d}}{{dt}} 4t^2\)

Поскольку число 7 является постоянной, его производная по времени равна нулю:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = 0 + 4 + 8t\)

Таким образом, проекция скорости точки на ось x равна \(\frac{{dx}}{{dt}} = 4 + 8t\).

Для определения начальной скорости и ускорения точки, мы можем рассмотреть значения скорости и ускорения в момент времени t = 0, так как в этот момент начинается движение точки.

Подставляем t = 0 в выражение для проекции скорости:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = 4 + 8 \cdot 0 = 4\)

Таким образом, начальная скорость точки равна 4.

Чтобы найти ускорение, нам нужно продифференцировать проекцию скорости по времени:

\(\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}} (4 + 8t)\)

Производная константы равна нулю, поэтому:

\(\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = 8\)

Таким образом, ускорение точки равно 8.

Уравнение для проекции скорости будет иметь вид \(\frac{{dx}}{{dt}} = 4 + 8t\).

Задача 2:
У нас дано, что деревянный шарик падает в воду с высоты 5 м и погружается на глубину 70 см.

Ускорение шарика в воде предполагается постоянным, поэтому мы можем использовать закон равномерного движения для определения ускорения.

Уравнение движения в вертикальной оси будет иметь вид:

\(h = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2\)

где h - положение шарика относительно исходной точки, h₀ - исходная высота (5 м), v₀ - начальная скорость (0 м/с, так как шарик падает), g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с²), t - время.

Мы хотим найти ускорение шарика в воде (предполагая, что оно постоянно). Для этого нам понадобится второе уравнение движения, связанное с водой:

\(h = h_{воды} + v_{0воды}t + \frac{1}{2}at^2\)

где h_{воды} - глубина погружения шарика в воду (0,7 м), v_{0воды} - начальная скорость в воде (0 м/с), a - искомое ускорение шарика в воде.

Подставляя данную информацию в уравнение движения в воде, получаем:

\(0,7 = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2}a \cdot t^2\)

Так как начальная скорость и количество времени равны нулю, мы можем упростить уравнение. Решим его относительно ускорения:

\(0,7 = \frac{1}{2}a \cdot t^2\)

\(0,7 = \frac{1}{2}a \cdot (0,7)^2\)

Делим обе стороны на (0,7)^2:

\(a = \frac{0,7}{\frac{1}{2} \cdot (0,7)^2}\)

\(a = \frac{0,7}{0,25}\)

\(a = 2,8\) м/с²

Таким образом, ускорение шарика в воде составляет 2,8 м/с².