1) Известно: abcd - это трапеция, в которой проведены диагонали bd и ca. Большая сторона трапеции ad равна 37

Задача 1:

Для начала, обратимся к свойству трапеции. В трапеции, боковые стороны параллельны, а диагонали пересекаются.

Так как трапеция abcd - это трапеция, в которой проведены диагонали bd и ca, то можем предположить, что точка пересечения диагоналей называется точкой O.

Также известно, что большая сторона трапеции ad равна 37 см, а меньшая сторона bc равна 13 см.

По свойству трапеции, боковые стороны равны. Пусть каждая боковая сторона равна x см.

Нарисуем трапецию abcd:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \mathrm{a} & \\
\mathrm{b} & & & \mathrm{d} \\
& \mathrm{c} & &
\end{array}
\]

Изобразим диагонали bd и ca:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \mathrm{a} & \\
\mathrm{b} & \backslash & | & \mathrm{d} \\
& & | & \\
& & \mathrm{O} & \\
& & | & \\
& \mathrm{c} & | & \\
& & \backslash &
\end{array}
\]

Как мы видим, диагональ bd делит трапецию на два треугольника, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения ее длины.

Возьмем треугольник bdo:

\[
\begin{array}{cccc}
& \mathrm{o} & \\
\mathrm{b} & \backslash & \mathrm{d} \\
\end{array}
\]

Применим теорему Пифагора:

\[
bd^2 = bo^2 + do^2
\]

Так как точка O - это точка пересечения диагоналей, она делит диагонали пополам. Значит, bo = do.

Подставим это в формулу:

\[
bd^2 = bo^2 + bo^2 = 2 \cdot bo^2
\]

Но мы знаем длину большей стороны трапеции ad, которая равна 37 см. Значит, ad = bo + bd.

Заменим ad на 37 и bd на x:

\[
37^2 = (bo + x)^2 + x^2
\]

Раскроем скобки:

\[
1369 = b0^2 + 2 \cdot bo \cdot x + x^2 + x^2
\]

Упростим:

\[
1369 = 2x^2 + 2 \cdot bo \cdot x + bo^2
\]

Так как bo = do, заменим его на x:

\[
1369 = 2x^2 + 2 \cdot x^2 + x^2
\]

Складываем коэффициенты при одинаковых степенях:

\[
1369 = 5x^2
\]

Разделим обе части на 5:

\[
x^2 = \frac{1369}{5}
\]

Вычислим:

\[
x^2 = 273.8
\]

Возьмем корень из обеих частей:

\[
x \approx 16.5
\]

Таким образом, каждая боковая сторона трапеции примерно равна 16.5 см.

Ответ: каждая боковая сторона трапеции примерно равна 16.5 см.

Задача 2:

Рассмотрим трапецию abcd:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \mathrm{a} & \\
\mathrm{b} & & & \mathrm{d} \\
& \mathrm{c} & &
\end{array}
\]

Известно, что большее основание трапеции ad равно 25 см, а диагональ ca равна 20 см. Также известно, что боковые стороны равны.

Пусть каждая боковая сторона равна x см.

Так как мы знаем длину большего основания ad, а также диагональ ca, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны.

Возьмем треугольник cda:

\[
\begin{array}{cccc}
& \mathrm{a} & \\
\mathrm{c} & & \mathrm{d} \\
\end{array}
\]

Применим теорему Пифагора:

\[
ca^2 = cd^2 + ad^2
\]

Заменим ca на 20 и ad на 25:

\[
20^2 = cd^2 + 25^2
\]

Раскроем скобки:

\[
400 = cd^2 + 625
\]

Перенесем 625 на другую сторону:

\[
cd^2 = 400 - 625 = -225
\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем неправильное решение.

Таким образом, невозможно найти точные значения боковых сторон трапеции в данной задаче.

Ответ: невозможно найти точные значения боковых сторон трапеции, используя только известные данные.