Яка площа перетину кулі площиною, якщо діаметр, проведений через одну з точок перетину поверхні кулі з площиною

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрию и формулы.

Во-первых, нам дано, что проведенный диаметр через одну из точек пересечения поверхности кули с плоскостью составляет 10 см. Это означает, что расстояние от центра кули до точки пересечения также составляет 10 см.

Далее нам сказано, что этот диаметр образует угол 30 градусов с плоскостью пересечения. Важно заметить, что угол между диаметром круга и плоскостью пересечения всегда будет прямым углом. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза (10 см) и один из острых углов (30 градусов).

Чтобы найти площадь пересечения кули с плоскостью, мы можем использовать формулу для площади сектора круга. Площадь сектора можно определить как отношение меры дуги к полной мере окружности, умноженное на площадь всего круга.

Так как у нас данные о гипотенузе и противолежащем остром угле, мы можем найти длину дуги треугольника и меру всей окружности. Длина дуги определяется как \(l = r \cdot \theta\), где \(r\) - радиус круга (половина диаметра, в нашем случае равна 5 см), а \(\theta\) - мера угла в радианах (\(30^\circ\) в радианах равно \(\frac{\pi}{6}\)).

Таким образом, длина дуги составляет \(l = 5 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) см. Мера всей окружности равна \(2\pi r = 2 \pi \cdot 5 = 10\pi\) см.

Площадь сектора можно вычислить по формуле \(S = \frac{l}{2\pi r} \cdot \pi r^2 = \frac{\cancel{\pi}}{2\cancel{\pi} \cdot 5} \cdot \cancel{\pi} \cdot 5^2 = \frac{1}{2} \cdot 5^2 = \frac{25}{2}\) кв.см.

Итак, площадь пересечения кули с плоскостью составляет \(\frac{25}{2}\) квадратных сантиметра.