1. Изобразите систему координат в трехмерном пространстве и точку A с координатами (-2; 3; -4). 2. Найдите координаты

1. Чтобы изобразить систему координат в трехмерном пространстве, мы используем трехмерную координатную плоскость. Представим, что плоскость находится перед нами, а оси координат пересекаются в точке O. Ось x горизонтальна и направлена вправо, ось y также горизонтальна, но направлена вверх, а ось z вертикальна и направлена от нас вглубь плоскости.

Теперь нарисуем точку A с координатами (-2; 3; -4). Используя рисунок, можно представить это следующим образом:

$$\begin{array}{cccc}& & & B(0,3,4)\\ & & /& \\ & & /& \\ & A(-2,3,-4)& & \\ & /& & \\ & /& & \\ C(1,4,4)& & & \end{array}$$

2. Чтобы найти координаты вектора $\mathbf{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}$, нужно сначала умножить вектор $\mathbf{a}$ на 2, а затем вычесть из него вектор $\mathbf{b}$.

Вектор $\mathbf{a}$ имеет координаты (-4; 1; 5), а вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты (3; -5; -1).

Умножим вектор $\mathbf{a}$ на 2:
$$\mathbf{2}\mathbf{a}=2\cdot (-4;1;5)=(-8;2;10)$$

Вычтем из вектора $\mathbf{2}\mathbf{a}$ вектор $\mathbf{b}$:
$$\mathbf{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}=(-8;2;10)-(3;-5;-1)=(-8-3;2-(-5);10-(-1))=(-11;7;11)$$

Таким образом, координаты вектора $\mathbf{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}$ равны (-11; 7; 11).

3. Чтобы определить значения параметров $s$ и $t$, при которых вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ коллинеарны, нужно проверить, существует ли такое число $k$, что каждая координата вектора $\mathbf{a}$ будет равна $k$ раз каждой соответствующей координате вектора $\mathbf{b}$.

Вектор $\mathbf{a}$ имеет координаты (3; $s$; 4), а вектор $\mathbf{b}$ имеет координаты ($t$; 1; -8).

Установим соотношение между координатами векторов:
$$\frac{3}{t}=\frac{s}{1}=\frac{4}{-8}$$

Проверим первое соотношение:
$$\frac{3}{t}=\frac{4}{-8}$$

Упростим это выражение:
$$\frac{3}{t}=-\frac{1}{2}$$

Теперь решим его относительно $t$:
$$3\cdot 2=-1\cdot t$$
$$6=-t$$
$$t=-6$$

Перед тем, как продолжить с $s$, проверим, являются ли также равными и другие соотношения:

$$\frac{s}{1}=\frac{3}{t}$$

Подставим найденное значение $t$:
$$\frac{s}{1}=\frac{3}{-6}$$

Упростим это выражение:
$$\frac{s}{1}=-\frac{1}{2}$$

Теперь решим его относительно $s$:
$$s=-\frac{1}{2}\cdot 1$$
$$s=-\frac{1}{2}$$

Таким образом, значения параметров $s$ и $t$ равны $s=-\frac{1}{2}$ и $t=-6$.

4. Чтобы найти координаты точки K, которая является серединой отрезка AB, нужно найти среднее значение каждой координаты точек A и B.

Точка A имеет координаты (0; 3; 4), а точка B имеет координаты (1; 4; 4).

Найдем среднее значение для каждой координаты:

Для координаты x:
$$K_x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$$

Для координаты y:
$$K_y=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$$

Для координаты z:
$$K_z=\frac{4+4}{2}=4$$

Таким образом, координаты точки K равны $(\frac{1}{2};\frac{7}{2};4)$.

5. Чтобы найти расстояние от точки P с координатами (-2; 3; 1) до оси x, нужно найти расстояние между точкой P и самой ближайшей точкой на оси x.

Точка на оси x, ближайшая к точке P, будет иметь координаты (-2; 0; 0), так как y и z координаты остаются нулевыми.

Теперь мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$$\text{Расстояние}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$$

Расстояние от точки P до точки на оси x будет:

$$\text{Расстояние}=\sqrt{(-2-(-2){)}^2+(3-0{)}^2+(1-0{)}^2}$$

Упростим это выражение:

$$\text{Расстояние}=\sqrt{0^2+3^2+1^2}$$

Таким образом, расстояние от точки P до оси x равно:

$$\text{Расстояние}=\sqrt{0+9+1}=\sqrt{10}$$

6. Для полного решения этой задачи нам потребуется больше информации о тетраэдре ABCD и положении точки M относительно ребра AB. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию.