1. Изобразите систему координат в трехмерном пространстве и точку A с координатами (-2; 3; -4). 2. Найдите координаты

1. Чтобы изобразить систему координат в трехмерном пространстве, мы используем трехмерную координатную плоскость. Представим, что плоскость находится перед нами, а оси координат пересекаются в точке O. Ось x горизонтальна и направлена вправо, ось y также горизонтальна, но направлена вверх, а ось z вертикальна и направлена от нас вглубь плоскости.

Теперь нарисуем точку A с координатами (-2; 3; -4). Используя рисунок, можно представить это следующим образом:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & B(0,3,4)\\
& & / & \\
& &/ &\\
& A(-2,3,-4) & &\\
&/ & &\\
&/ & &\\
C(1,4,4) & & &
\end{array}
\]

2. Чтобы найти координаты вектора \(\mathbf{2a}-\mathbf{b}\), нужно сначала умножить вектор \(\mathbf{a}\) на 2, а затем вычесть из него вектор \(\mathbf{b}\).

Вектор \(\mathbf{a}\) имеет координаты (-4; 1; 5), а вектор \(\mathbf{b}\) имеет координаты (3; -5; -1).

Умножим вектор \(\mathbf{a}\) на 2:
\[
\mathbf{2a} = 2 \cdot (-4; 1; 5) = (-8; 2; 10)
\]

Вычтем из вектора \(\mathbf{2a}\) вектор \(\mathbf{b}\):
\[
\mathbf{2a}-\mathbf{b} = (-8; 2; 10) - (3; -5; -1) = (-8-3; 2-(-5); 10-(-1)) = (-11; 7; 11)
\]

Таким образом, координаты вектора \(\mathbf{2a}-\mathbf{b}\) равны (-11; 7; 11).

3. Чтобы определить значения параметров \(s\) и \(t\), при которых вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) коллинеарны, нужно проверить, существует ли такое число \(k\), что каждая координата вектора \(\mathbf{a}\) будет равна \(k\) раз каждой соответствующей координате вектора \(\mathbf{b}\).

Вектор \(\mathbf{a}\) имеет координаты (3; \(s\); 4), а вектор \(\mathbf{b}\) имеет координаты (\(t\); 1; -8).

Установим соотношение между координатами векторов:
\[
\frac{3}{t} = \frac{s}{1} = \frac{4}{-8}
\]

Проверим первое соотношение:
\[
\frac{3}{t} = \frac{4}{-8}
\]

Упростим это выражение:
\[
\frac{3}{t} = -\frac{1}{2}
\]

Теперь решим его относительно \(t\):
\[
3 \cdot 2 = -1 \cdot t
\]
\[
6 = -t
\]
\[
t = -6
\]

Перед тем, как продолжить с \(s\), проверим, являются ли также равными и другие соотношения:

\[
\frac{s}{1} = \frac{3}{t}
\]

Подставим найденное значение \(t\):
\[
\frac{s}{1} = \frac{3}{-6}
\]

Упростим это выражение:
\[
\frac{s}{1} = -\frac{1}{2}
\]

Теперь решим его относительно \(s\):
\[
s = -\frac{1}{2} \cdot 1
\]
\[
s = -\frac{1}{2}
\]

Таким образом, значения параметров \(s\) и \(t\) равны \(s = -\frac{1}{2}\) и \(t = -6\).

4. Чтобы найти координаты точки K, которая является серединой отрезка AB, нужно найти среднее значение каждой координаты точек A и B.

Точка A имеет координаты (0; 3; 4), а точка B имеет координаты (1; 4; 4).

Найдем среднее значение для каждой координаты:

Для координаты x:
\[
K_x = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Для координаты y:
\[
K_y = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}
\]

Для координаты z:
\[
K_z = \frac{4 + 4}{2} = 4
\]

Таким образом, координаты точки K равны \((\frac{1}{2}; \frac{7}{2}; 4)\).

5. Чтобы найти расстояние от точки P с координатами (-2; 3; 1) до оси x, нужно найти расстояние между точкой P и самой ближайшей точкой на оси x.

Точка на оси x, ближайшая к точке P, будет иметь координаты (-2; 0; 0), так как y и z координаты остаются нулевыми.

Теперь мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}
\]

Расстояние от точки P до точки на оси x будет:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2}
\]

Упростим это выражение:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}
\]

Таким образом, расстояние от точки P до оси x равно:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10}
\]

6. Для полного решения этой задачи нам потребуется больше информации о тетраэдре ABCD и положении точки M относительно ребра AB. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию.