1) Из вершины B равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) строится перпендикуляр BM к плоскости треугольника

1) Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, сторона AB равна стороне BC.

Длина стороны AC равна 4 дм, поэтому мы можем разделить сторону AC на две равные части. Пусть точка D - середина стороны AC. Тогда длина AD будет равна 2 дм.

Теперь рассмотрим треугольник BDM. Мы знаем, что угол ABC равен 120°, поэтому угол BAC также равен 120° (поскольку треугольник ABC равнобедренный).

Поскольку BM является перпендикуляром к плоскости треугольника, угол MBD будет прямым углом, то есть равным 90°. Также у нас есть угол BAC, равный 120°. Зная эти два угла, мы можем найти третий угол: угол BMD.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол BMD равен 180° - 120° - 90° = -30°.

Теперь, зная два угла треугольника BMD (прямой угол у B и угол BMD), мы можем найти третий угол, который будет равен 180° - 90° - (-30°) = 120°.

Таким образом, треугольник BDM будет равнобедренным и его два угла будут равны 120°.

Мы также знаем, что сторона BM равна 4 дм.

Теперь мы можем найти длину перпендикуляра из точки M на сторону AC. Поскольку точка D является серединой стороны AC, перпендикуляр MD будет проходить через точку D и будет делить сторону AC пополам.

Таким образом, длина перпендикуляра из точки M на сторону AC будет равна 2 дм.

Чтобы найти расстояние от вершины B до этого перпендикуляра, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник BMD.

Так как угол BMD равен 120°, расстояние от точки B до перпендикуляра MD можно найти с помощью формулы косинусов:

\[BD = \sqrt{BM^2 + MD^2 - 2 \cdot BM \cdot MD \cdot \cos(BMD)}\]

\[BD = \sqrt{4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(120°)}\]

\[BD = \sqrt{16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (-0.5)}\]

\[BD = \sqrt{20}\]

\[BD \approx 4.47\]

Таким образом, длина перпендикуляра из точки M на сторону AC равна 2 дм, а расстояние от вершины B до этого перпендикуляра равно примерно 4.47 дм.

2) Для решения этой задачи, давайте обозначим данную точку P. Требуется определить расстояние от точки P до плоскости.

Для нахождения расстояния от данной точки до плоскости, мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между точкой и плоскостью.

\[\text{Расстояние} = \frac{|\text{Ax} + \text{By} + \text{Cz} + \text{D}|}{\sqrt{\text{A}^2 + \text{B}^2 + \text{C}^2}}\]

Где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а (x, y, z) - координаты данной точки P.

В данной задаче у нас есть две наклонные линии, и мы знаем их длины - 10 см и 7 см. Мы также знаем, что проекции этих наклонных на плоскость имеют отношение 6:.

Обозначим длины проекций как x и y. Из условия задачи, у нас есть следующее уравнение:

\[\frac{x}{y} = \frac{6}{1}\]

Мы не знаем конкретные значения x и y, но мы можем обозначить их отношение как k:

\[\frac{x}{y} = k\]

Теперь, используя данное уравнение, мы можем найти значения x и y:

\[x = 6k\]
\[y = 1k\]

Длина первой наклонной линии равна 10 см, поэтому:

\[10 = \sqrt{x^2 + y^2}\]
\[100 = x^2 + y^2\]

\[\text{Т.к. } x = 6k \text{ и } y = k\]
\[100 = (6k)^2 + k^2\]
\[100 = 36k^2 + k^2\]
\[100 = 37k^2\]
\[k^2 = \frac{100}{37}\]
\[k \approx 0.576\]

Теперь у нас есть значение k, и мы можем найти длины проекций x и y:

\[x = 6k \approx 6 \cdot 0.576 \approx 3.456 \text{ см}\]
\[y = k \approx 0.576 \text{ см}\]

Мы также знаем, что отношение длины проекции наклонной линии к длине самой наклонной линии равно отношению расстояния от точки P до плоскости к длине самой наклонной линии.

Обозначим расстояние от точки P до плоскости как d.

Мы знаем, что \(\frac{x}{10} = \frac{d}{10}\), поэтому \(d = x = 3.456\) см.

Таким образом, расстояние от данной точки P до плоскости составляет примерно 3.456 см.

3) У нас нет полного условия задачи, поэтому я не могу дать ответ на этот вопрос. Пожалуйста, предоставьте полное условие задачи, и я буду рад помочь вам с ее решением.