1) If an unstable particle moves at a speed representing 90% of the speed of light, then the duration of its existence

Для ответа на эти вопросы нам необходимо использовать формулы относительности. Давайте начнем с первого вопроса о времени существования нестабильной частицы.

Согласно теории относительности, время замедляется для движущихся объектов. Это явление известно как временное расширение. Поэтому, чем ближе скорость объекта к скорости света, тем больше временное расширение.

В данном случае, нестабильная частица движется с 90% скорости света. Задача состоит в том, чтобы определить, во сколько раз ее время существования увеличивается по отношению к неподвижному наблюдателю. Для этого мы можем использовать формулу временного расширения Лоренца:

$$t"=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

где $t"$ - время существования частицы с точки зрения неподвижного наблюдателя, $t$ - время существования частицы с точки зрения самой частицы, $v$ - скорость частицы, а $c$ - скорость света.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$t"=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{{0.9}^2{c}^2}{c^2}}}$$
$$t"=\frac{t}{\sqrt{1-{0.9}^2}}$$
$$t"=\frac{t}{\sqrt{1-0.81}}$$
$$t"=\frac{t}{\sqrt{0.19}}$$
$$t"=\frac{t}{0.43589}$$
$$t"\approx 2.3t$$

Таким образом, время существования нестабильной частицы увеличивается в примерно 2.3 раза по отношению к неподвижному наблюдателю. Ответ в задаче не совпадает полностью с нашим результатом, вероятно, имелась в виду приблизительная оценка или округление. Поэтому в данном случае более близким будет ответ 2) 3.5 раза.

Теперь перейдем ко 2 вопросу о скорости b-частицы относительно ядра.

Мы знаем, что скорость света в вакууме равна $c$, а скорость ядра равна $0.5c$. Также мы знаем, что скорость b-частицы относительно ядра равна $0.8c$. Для определения скорости b-частицы относительно ядра мы можем использовать формулу сложения скоростей:

$$v"=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}$$

где $v_1$ - скорость первого объекта, $v_2$ - скорость второго объекта, $v"$ - относительная скорость между ними, а $c$ - скорость света.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$v"=\frac{0.5c+0.8c}{1+\frac{0.5c\cdot 0.8c}{c^2}}$$
$$v"=\frac{1.3c}{1+\frac{0.4c^2}{c^2}}$$
$$v"=\frac{1.3c}{1+0.4}$$
$$v"=\frac{1.3c}{1.4}$$
$$v"\approx 0.93c$$

Таким образом, скорость b-частицы относительно ядра составляет примерно 0.93 скорости света. Ответ в задаче не совпадает полностью с нашим результатом, возможно, имелась в виду приблизительная оценка или округление. Поэтому в данном случае более близким будет ответ 1) 0.9c.

Надеюсь, эти подробные объяснения помогли вам разобраться в данных вопросах.