1. How many different 4-digit numbers can be formed from the given set of four numbers: 2, 4, 6, 8? How many 4-digit numbers, starting with 2, can be formed? How many different products of two given numbers can be formed? How many different 2-digit numbers can be formed?
2. What is the probability that out of 10 randomly arranged books, 3 specific books will be next to each other?
3. In an urn, there are 10 red and 6 white balls. Two balls are randomly drawn. What is the probability that they will be of the same color?
4. Two dice are rolled. Find the probability of the following events: a) the sum of the numbers on the dice is seven; b) the sum of the numbers on the dice is less than or equal to four.
2. What is the probability that out of 10 randomly arranged books, 3 specific books will be next to each other?
3. In an urn, there are 10 red and 6 white balls. Two balls are randomly drawn. What is the probability that they will be of the same color?
4. Two dice are rolled. Find the probability of the following events: a) the sum of the numbers on the dice is seven; b) the sum of the numbers on the dice is less than or equal to four.
Letuchiy_Piranya_2702
1. В данном наборе чисел: 2, 4, 6, 8, сколько различных четырехзначных чисел можно составить? Сколько четырехзначных чисел, начинающихся с 2, можно составить? Сколько различных произведений двух заданных чисел можно составить? Сколько различных двузначных чисел можно составить?
Чтобы определить количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, мы должны рассмотреть все возможные комбинации этих чисел и узнать, сколько из них существует.
Существует несколько способов подсчета таких комбинаций. Один из них - использовать правило умножения. Учитывая, что каждая из четырех позиций в четырехзначном числе может быть заполнена одним из четырех заданных чисел, мы можем использовать правило умножения для определения общего числа комбинаций.
Таким образом, общее количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, равно \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\).
Чтобы определить, сколько четырехзначных чисел можно получить, начинающихся с 2, мы фиксируем первую позицию числа, которая должна быть равна 2, а для остальных трех позиций используем оставшиеся числа. Таким образом, количество таких чисел равно \(1 \times 4 \times 4 \times 4 = 64\).
Для определения количества различных произведений двух заданных чисел (2, 4, 6, 8) мы должны учитывать все возможные комбинации этих чисел, умножая каждое число на остальные числа в наборе и исключая повторения (так как коммутативное свойство умножения позволяет получать одинаковые произведения). Таким образом, количество различных произведений равно 12.
Чтобы определить количество различных двузначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, мы используем тот же подход, что и для четырехзначных чисел. Таким образом, общее количество различных двузначных чисел равно \(4 \times 4 = 16\).
2. Какова вероятность того, что из 10 случайно расставленных книг, 3 конкретные книги будут находиться рядом?
Чтобы определить вероятность того, что 3 конкретные книги будут рядом, мы должны знать общее количество возможных расстановок 10 книг и количество удачных расстановок, когда 3 конкретные книги находятся рядом.
Всего возможных расстановок 10 книг можно определить с помощью формулы факториала, то есть \(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800\).
Удачные расстановки будут иметь форму "конкретная книга, конкретная книга, конкретная книга, остальные книги". Количество возможных удачных расстановок можно определить, чтобы разместить 3 конкретные книги вместе, как 8. Оставшиеся 7 книг можно расставить как \(7!\).
Таким образом, количество удачных расстановок будет равно \(8 \times 7! = 8 \times 5,040 = 40,320\).
Так как мы ищем вероятность, мы должны разделить количество удачных расстановок на общее количество возможных расстановок:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество удачных расстановок}}{\text{Общее количество возможных расстановок}} = \frac{40,320}{3,628,800} \approx 0.0111
\]
Таким образом, вероятность того, что из 10 случайно расставленных книг, 3 конкретные книги будут находиться рядом, составляет примерно 0.0111 или около 1.11%.
3. В урне находится 10 красных и 6 белых шаров. Вытягиваются случайно 2 шара. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?
Чтобы вычислить вероятность того, что два вытянутых шара будут одного цвета, мы должны учесть общее количество возможных комбинаций вытягивания 2 шаров из урны и количество комбинаций, когда оба шара будут одного цвета (либо оба красные, либо оба белые).
Общее количество возможных комбинаций выбора 2 шаров из 16 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:
\[
C_{16}^2 = \frac{16!}{2! \times (16-2)!} = \frac{16!}{2! \times 14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120
\]
Теперь мы должны определить количество комбинаций, когда оба шара будут одного цвета. Количество комбинаций красных шаров равно:
\[
C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} = \frac{10!}{2! \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Количество комбинаций белых шаров также будет равно 45.
Таким образом, общее количество комбинаций, когда вытянутые два шара окажутся одного цвета, равно 45 + 45 = 90.
Чтобы вычислить вероятность, мы должны разделить количество комбинаций, когда оба шара окажутся одного цвета, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций одного цвета}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{90}{120} = \frac{3}{4} = 0.75
\]
Таким образом, вероятность того, что два случайно вытянутых шара будут одного цвета, составляет \(\frac{3}{4}\) или 0.75.
4. Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность выполнения следующих событий:
a) Сумма выпавших очков равна 7.
b) Хотя бы на одной кости выпало 6.
c) Оба числа нечетные.
Для вычисления вероятностей данных событий, мы должны знать общее количество возможных комбинаций выпадения двух костей и количество комбинаций, которые удовлетворяют заданным условиям.
a) Чтобы определить вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, нам нужно знать количество комбинаций, которые дают сумму 7. Существует 6 таких комбинаций: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Таким образом, количество комбинаций, давших сумму 7, равно 6.
Общее количество возможных комбинаций можно определить, зная, что для каждой кости есть 6 возможных исходов (от 1 до 6). Таким образом, общее количество возможных комбинаций равно \(6 \times 6 = 36\).
Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, можно вычислить, разделив количество комбинаций, давших сумму 7, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с суммой 7}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667
\]
Таким образом, вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, составляет примерно 0.1667 или 16.67%.
b) Чтобы определить вероятность выпадения хотя бы одной шестерки на костях, мы должны определить количество комбинаций, которые содержат хотя бы одну шестерку.
Такие комбинации включают (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6).
Таким образом, количество комбинаций, содержащих хотя бы одну шестерку, равно 11.
Вероятность выпадения хотя бы одной шестерки можно вычислить, разделив количество комбинаций, содержащих шестерку, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с хотя бы одной шестеркой}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{11}{36} \approx 0.3056
\]
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки составляет примерно 0.3056 или 30.56%.
c) Чтобы определить вероятность того, что оба числа на костях нечетные, мы должны определить количество комбинаций, которые содержат два нечетных числа.
Такие комбинации включают (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5).
Таким образом, количество комбинаций, содержащих два нечетных числа, равно 9.
Вероятность выпадения двух нечетных чисел можно вычислить, разделив количество комбинаций, содержащих два нечетных числа, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с двумя нечетными числами}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0.25
\]
Таким образом, вероятность выпадения двух нечетных чисел составляет \(\frac{1}{4}\) или 0.25.
Чтобы определить количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, мы должны рассмотреть все возможные комбинации этих чисел и узнать, сколько из них существует.
Существует несколько способов подсчета таких комбинаций. Один из них - использовать правило умножения. Учитывая, что каждая из четырех позиций в четырехзначном числе может быть заполнена одним из четырех заданных чисел, мы можем использовать правило умножения для определения общего числа комбинаций.
Таким образом, общее количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, равно \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\).
Чтобы определить, сколько четырехзначных чисел можно получить, начинающихся с 2, мы фиксируем первую позицию числа, которая должна быть равна 2, а для остальных трех позиций используем оставшиеся числа. Таким образом, количество таких чисел равно \(1 \times 4 \times 4 \times 4 = 64\).
Для определения количества различных произведений двух заданных чисел (2, 4, 6, 8) мы должны учитывать все возможные комбинации этих чисел, умножая каждое число на остальные числа в наборе и исключая повторения (так как коммутативное свойство умножения позволяет получать одинаковые произведения). Таким образом, количество различных произведений равно 12.
Чтобы определить количество различных двузначных чисел, которые можно составить из набора чисел 2, 4, 6, 8, мы используем тот же подход, что и для четырехзначных чисел. Таким образом, общее количество различных двузначных чисел равно \(4 \times 4 = 16\).
2. Какова вероятность того, что из 10 случайно расставленных книг, 3 конкретные книги будут находиться рядом?
Чтобы определить вероятность того, что 3 конкретные книги будут рядом, мы должны знать общее количество возможных расстановок 10 книг и количество удачных расстановок, когда 3 конкретные книги находятся рядом.
Всего возможных расстановок 10 книг можно определить с помощью формулы факториала, то есть \(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800\).
Удачные расстановки будут иметь форму "конкретная книга, конкретная книга, конкретная книга, остальные книги". Количество возможных удачных расстановок можно определить, чтобы разместить 3 конкретные книги вместе, как 8. Оставшиеся 7 книг можно расставить как \(7!\).
Таким образом, количество удачных расстановок будет равно \(8 \times 7! = 8 \times 5,040 = 40,320\).
Так как мы ищем вероятность, мы должны разделить количество удачных расстановок на общее количество возможных расстановок:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество удачных расстановок}}{\text{Общее количество возможных расстановок}} = \frac{40,320}{3,628,800} \approx 0.0111
\]
Таким образом, вероятность того, что из 10 случайно расставленных книг, 3 конкретные книги будут находиться рядом, составляет примерно 0.0111 или около 1.11%.
3. В урне находится 10 красных и 6 белых шаров. Вытягиваются случайно 2 шара. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?
Чтобы вычислить вероятность того, что два вытянутых шара будут одного цвета, мы должны учесть общее количество возможных комбинаций вытягивания 2 шаров из урны и количество комбинаций, когда оба шара будут одного цвета (либо оба красные, либо оба белые).
Общее количество возможных комбинаций выбора 2 шаров из 16 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:
\[
C_{16}^2 = \frac{16!}{2! \times (16-2)!} = \frac{16!}{2! \times 14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120
\]
Теперь мы должны определить количество комбинаций, когда оба шара будут одного цвета. Количество комбинаций красных шаров равно:
\[
C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} = \frac{10!}{2! \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Количество комбинаций белых шаров также будет равно 45.
Таким образом, общее количество комбинаций, когда вытянутые два шара окажутся одного цвета, равно 45 + 45 = 90.
Чтобы вычислить вероятность, мы должны разделить количество комбинаций, когда оба шара окажутся одного цвета, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций одного цвета}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{90}{120} = \frac{3}{4} = 0.75
\]
Таким образом, вероятность того, что два случайно вытянутых шара будут одного цвета, составляет \(\frac{3}{4}\) или 0.75.
4. Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность выполнения следующих событий:
a) Сумма выпавших очков равна 7.
b) Хотя бы на одной кости выпало 6.
c) Оба числа нечетные.
Для вычисления вероятностей данных событий, мы должны знать общее количество возможных комбинаций выпадения двух костей и количество комбинаций, которые удовлетворяют заданным условиям.
a) Чтобы определить вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, нам нужно знать количество комбинаций, которые дают сумму 7. Существует 6 таких комбинаций: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Таким образом, количество комбинаций, давших сумму 7, равно 6.
Общее количество возможных комбинаций можно определить, зная, что для каждой кости есть 6 возможных исходов (от 1 до 6). Таким образом, общее количество возможных комбинаций равно \(6 \times 6 = 36\).
Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, можно вычислить, разделив количество комбинаций, давших сумму 7, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с суммой 7}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667
\]
Таким образом, вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, составляет примерно 0.1667 или 16.67%.
b) Чтобы определить вероятность выпадения хотя бы одной шестерки на костях, мы должны определить количество комбинаций, которые содержат хотя бы одну шестерку.
Такие комбинации включают (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6).
Таким образом, количество комбинаций, содержащих хотя бы одну шестерку, равно 11.
Вероятность выпадения хотя бы одной шестерки можно вычислить, разделив количество комбинаций, содержащих шестерку, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с хотя бы одной шестеркой}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{11}{36} \approx 0.3056
\]
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки составляет примерно 0.3056 или 30.56%.
c) Чтобы определить вероятность того, что оба числа на костях нечетные, мы должны определить количество комбинаций, которые содержат два нечетных числа.
Такие комбинации включают (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5).
Таким образом, количество комбинаций, содержащих два нечетных числа, равно 9.
Вероятность выпадения двух нечетных чисел можно вычислить, разделив количество комбинаций, содержащих два нечетных числа, на общее количество возможных комбинаций:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций с двумя нечетными числами}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0.25
\]
Таким образом, вероятность выпадения двух нечетных чисел составляет \(\frac{1}{4}\) или 0.25.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
