1. How can the compositions (f ᵒ g) and (g ᵒ f) be constructed using the given functions f(x) = 1/x and g(x)

Давайте разберем каждую задачу по очереди.

1. Дано две функции: \(f(x) = \frac{1}{x}\) и \(g(x) = x^{2} + 12\). Нам нужно построить композиции \(f \circ g\) и \(g \circ f\).

Для нахождения композиции \(f \circ g\) мы сначала подставляем \(g(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(g(x)) = f(x^{2} + 12)\]
Подставляем \(x^{2} + 12\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(x^{2} + 12) = \frac{1}{x^{2} + 12}\]
Таким образом, композиция \(f \circ g\) будет равна \(\frac{1}{x^{2} + 12}\).

Для нахождения композиции \(g \circ f\) мы сначала подставляем \(f(x)\) вместо \(x\) в функцию \(g(x)\):
\[g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right)\]
Подставляем \(\frac{1}{x}\) вместо \(x\) в функцию \(g(x)\):
\[g\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^{2} + 12 = \frac{1}{x^{2}} + 12\]
Таким образом, композиция \(g \circ f\) будет равна \(\frac{1}{x^{2}} + 12\).

2. Дано две функции: \(f(x) = x^{3}\) и \(g(x) = \cos(x)\). Нам нужно построить композицию \(f \circ g\).

Для нахождения композиции \(f \circ g\) мы сначала подставляем \(g(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(g(x)) = f(\cos(x))\]
Подставляем \(\cos(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(\cos(x)) = (\cos(x))^{3} = \cos^{3}(x)\]
Таким образом, композиция \(f \circ g\) будет равна \(\cos^{3}(x)\).

3. Дано две функции: \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(g(x) = 9 + x^{3}\). Нам нужно построить композицию \(f \circ g\).

Для нахождения композиции \(f \circ g\) мы сначала подставляем \(g(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(g(x)) = f(9 + x^{3})\]
Подставляем \(9 + x^{3}\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(9 + x^{3}) = \sqrt{9 + x^{3}}\]
Таким образом, композиция \(f \circ g\) будет равна \(\sqrt{9 + x^{3}}\).

4. Дано две функции: \(f(x) = x^{2}\) и \(g(x) = x^{2} + 5\). Нам нужно построить композицию \(f \circ g\).

Для нахождения композиции \(f \circ g\) мы сначала подставляем \(g(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(g(x)) = f(x^{2} + 5)\]
Подставляем \(x^{2} + 5\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(x^{2} + 5) = (x^{2} + 5)^{2}\]
Таким образом, композиция \(f \circ g\) будет равна \((x^{2} + 5)^{2}\).

Дополнительно, для \(f(x) = x^{3}\) и \(g(x)\), нам не дана функция \(g(x)\). Так что мы не можем построить композицию \(f \circ g\) в данном случае. Если у вас есть функция \(g(x)\), пожалуйста, предоставьте её, и я помогу вам с решением.