Докажите, что сумма углов a и c в выпуклом четырёхугольнике abcd, где диагональ ac перпендикулярна стороне

Для начала, давайте взглянем на рисунок данного выпуклого четырехугольника abcd:

\[ \begin{array}{l}
a \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d \\
\end{array} \]

Из условия задачи мы можем сделать следующие наблюдения:

- Диагональ ac перпендикулярна к стороне cd, а значит, угол acd является прямым углом, то есть \( \angle acd = 90^\circ \).
- Диагональ bd перпендикулярна к стороне ab, а значит, угол abd является прямым углом, то есть \( \angle abd = 90^\circ \).

Теперь, чтобы доказать, что сумма углов a и c равна 180°, мы можем воспользоваться свойством суммы углов в четырехугольнике. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

В нашем случае, мы можем разделить четырехугольник abcd на два треугольника - acd и abd. В треугольнике acd у нас уже есть угол acd, который равен 90°. Также, мы знаем, что угол abd также равен 90°.

Теперь, чтобы найти сумму углов a и c, мы можем применить свойство суммы углов треугольника. Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Таким образом, угол a + угол c = сумма углов треугольника acd.

Поскольку угол acd = 90°, то угол a + угол c = 90° + угол c = 180°.

Таким образом, сумма углов a и c в выпуклом четырехугольнике abcd равна 180°.