1) Если в пирамиде высота H равна стороне a основания, то какой угол составляют боковые ребра с плоскостью основания?

Конечно, я могу помочь с этими задачами. Вот подробные ответы на каждую из них:

1) Если в пирамиде высота \(H\) равна стороне \(a\) основания, то чтобы определить, какой угол составляют боковые ребра с плоскостью основания, мы можем использовать теорему Пифагора. Поскольку пирамида является прямой, боковые ребра и высота образуют прямоугольный треугольник. Зная, что высота равна стороне основания, мы можем обозначить сторону основания как \(a\) и высоту как \(H\). Таким образом, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (бокового ребра) равен сумме квадратов катетов (стороны основания).

Получается уравнение: \[H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2.\]

Давайте решим его. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[H^2 + \frac{a^2}{4} = a^2.\]

Перенесем все члены, содержащие \(a^2\), на одну сторону уравнения: \[H^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}.\]

Упростим выражение: \[H^2 = \frac{3a^2}{4}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат: \[H = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}.\]

Теперь имеем выражение для высоты пирамиды. Чтобы найти угол, составленный боковыми ребрами с плоскостью основания, мы можем использовать тангенс этого угла. Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета (высоты) к длине прилежащего катета (половине стороны основания). Таким образом, мы получаем следующую формулу:

\[\tan(\theta) = \frac{H}{\frac{a}{2}}.\]

Где \(\theta\) - искомый угол. Подставим значение высоты и длины стороны основания в формулу:

\[\tan(\theta) = \frac{\sqrt{\frac{3a^2}{4}}}{\frac{a}{2}}.\]

Упростим выражение:

\[\tan(\theta) = \frac{2\sqrt{3a^2}}{4 \cdot a}.\]

Далее, сократим на 2 в числителе:

\[\tan(\theta) = \frac{\sqrt{3a^2}}{2 \cdot a}.\]

Используя свойство корня \(\sqrt{a^2} = a\), получим:

\[\tan(\theta) = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2 \cdot a}.\]

Сократим \(a\) в числителе с \(a\) в знаменателе и получим:

\[\tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Теперь, чтобы найти значение угла, можно применить функцию арктангенс:

\[\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).\]

Плоскость основания может иметь любую форму, и угол со сторонами пирамиды будет составлять \(\theta\), как мы только что вывели.

2) Для построения правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром длиной 7 см, используя квадрат со стороной 10 см как основание, нужно удовлетворять условию, что длина бокового ребра равна длине стороны основания. В данной задаче длина бокового ребра равна 7 см, а сторона квадрата равна 10 см. Очевидно, что 7 см не равно 10 см, поэтому невозможно построить такую пирамиду.

3) Если все ребра пирамиды равны, то мы не можем однозначно утверждать, что она является правильной. Верно, что правильная пирамида имеет все равные ребра, но существуют и другие пирамиды, у которых все ребра равны, но они не являются правильными. Например, существуют прямоугольные пирамиды, у которых все ребра равны, но основание не является равносторонним треугольником. Таким образом, чтобы с уверенностью утверждать, что пирамида является правильной, требуется дополнительное условие - равностороннее основание.