1. Если определитель квадратной матрицы системы уравнений не равен нулю, то каково количество решений у этой системы?

Матричная теория, которая включает в себя системы линейных уравнений, лимиты функций и производные, требует детального и обстоятельного объяснения. Давайте начнем с каждой задачи и разберем их шаг за шагом.

1. Если определитель квадратной матрицы системы уравнений не равен нулю, то количество решений у этой системы будет ровно одно. Это означает, что система имеет ровно одно решение, которое можно найти с помощью методов решения систем линейных уравнений, таких как метод Крамера или метод Гаусса.

2. Для решения данной системы линейных уравнений методом Крамера, нужно последовательно найти значения каждого из неизвестных x, y и z. Сначала найдем определитель главной матрицы системы (D), который рассчитывается путем замены столбца коэффициентов при x на столбец свободных членов, затем определитель матрицы x (Dx), y (Dy) и z (Dz), и в конечном итоге, делим каждый из этих определителей на D, чтобы найти значения неизвестных.

Итак, данная система имеет вид:
\[
\begin{align*}
2x - y + 3z &= 5 \\
x + y - 2z &= -3 \\
3x - 4y + z &= 8 \\
\end{align*}
\]

Главная матрица системы будет иметь вид:
\[
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & -4 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

Рассчитаем D:
\[
D = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}
\]

Вычисляем определитель Dx:
Заменяем столбец коэффициентов при x на столбец свободных членов:
\[
Dx = \begin{vmatrix}
5 & -1 & 3 \\
-3 & 1 & -2 \\
8 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}
\]

Рассчитываем определитель Dy:
Заменяем столбец коэффициентов при y на столбец свободных членов:
\[
Dy = \begin{vmatrix}
2 & 5 & 3 \\
1 & -3 & -2 \\
3 & 8 & 1 \\
\end{vmatrix}
\]

Наконец, рассчитываем определитель Dz:
Заменяем столбец коэффициентов при z на столбец свободных членов:
\[
Dz = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 5 \\
1 & 1 & -3 \\
3 & -4 & 8 \\
\end{vmatrix}
\]

Теперь мы можем вычислить значения x, y и z путем деления каждого из определителей на D:
\[
x = \frac{D_x}{D} = \frac{\begin{vmatrix}
5 & -1 & 3 \\
-3 & 1 & -2 \\
8 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}}
\]

\[
y = \frac{D_y}{D} = \frac{\begin{vmatrix}
2 & 5 & 3 \\
1 & -3 & -2 \\
3 & 8 & 1 \\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}}
\]

\[
z = \frac{D_z}{D} = \frac{\begin{vmatrix}
2 & -1 & 5 \\
1 & 1 & -3 \\
3 & -4 & 8 \\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & -4 & 1 \\
\end{vmatrix}}
\]

3. Чтобы определить предел функции \(\lim_{x \to 4.2} \frac{(1 + 3x)^3}{4x+12}\), нужно вычислить значение функции, когда x стремится к 4.2. Заменяем x на 4.2 и рассчитываем значение функции:
\[
\lim_{x \to 4.2} \frac{(1 + 3(4.2))^3}{4(4.2)+12} = \frac{(1 + 3(4.2))^3}{4(4.2)+12}
\]

4. Чтобы найти производную функции \(y = 2x^3 + 2x - 1\), используем правило степенной функции и суммы производных. Производная функции y равна:
\[
y" = (2x^3 + 2x - 1)"
\]
\[
y" = (2x^3)" + (2x)" - (1)"
\]
\[
y" = 6x^2 + 2 - 0
\]
Поэтому производная функции \(y = 2x^3 + 2x - 1\) равна \(y" = 6x^2 + 2\).

5. Чтобы исследовать свойства функции \(y = vxz + 2\) и построить её график, нужно выполнить следующие шаги:
- Определить область определения функции (значения x, при которых функция определена).
- Найти интервалы возрастания и убывания функции.
- Найти точки экстремума (минимумы и максимумы).
- Найти точки перегиба, если они есть.
- Определить асимптоты функции.
- Наконец, построить график функции, используя полученные результаты.

6. Чтобы найти интеграл функции, нужно знать, какая функциональная зависимость есть у функции вида \(f(x)\). Пожалуйста, укажите функциональную зависимость, и я смогу помочь вам в вычислении интеграла функции.