1) Если количество оборотов шарика увеличить с 30 до 60, то изменится ли время одного оборота? Когда будет достигнута

1) Посмотрим на зависимость между временем одного оборота и количеством оборотов шарика. Время одного оборота обозначим как \(T\), а количество оборотов как \(N\).

Если количество оборотов увеличивается с 30 до 60, то можно предположить, что время одного оборота не изменится. Это обосновывается простым наблюдением: большее количество оборотов не должно влиять на длительность одного оборота, если другие факторы остаются неизменными.

Однако, для более точной оценки времени одного оборота при большем количестве оборотов, нужно провести эксперимент. Можно произвести измерения времени при различных значениях количества оборотов, например, при 30, 40, 50, и 60 оборотах. Таким образом можно получить данные и построить график зависимости времени одного оборота от количества оборотов. Из графика можно будет делать более точные оценки значения времени одного оборота.

2) Рассмотрим вторую задачу, когда радиус вращения шарика уменьшается в 2 раза. Обозначим радиус до уменьшения как \(R\), а после уменьшения как \(R"\). Время одного оборота обозначим также как \(T\) до уменьшения и как \(T"\) после уменьшения радиуса.

Из формулы для периода колебаний циркулярного движения следует:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения. По условию задачи, радиус уменьшается в 2 раза, значит \(R" = \frac{R}{2}\). Подставив \(R"\) в формулу для периода, получим:

\[T" = 2\pi \sqrt{\frac{R"}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}}\]

Как видно из формулы, время одного оборота после уменьшения радиуса уменьшится на корень из 2. То есть, \(T" = \sqrt{2}T\). Изменится ли время одного оборота при уменьшении радиуса вращения - да, оно уменьшится.

3) Рассмотрим третью задачу, когда радиус вращения шарика увеличивается в 2 раза. Обозначим радиус до увеличения как \(R\), а после увеличения как \(R"\). Значения угловой и линейной скоростей обозначим соответственно как \(\omega\) и \(v\) до увеличения радиуса, и как \(\omega"\) и \(v"\) после увеличения радиуса.

Известно, что угловая скорость \(\omega\) связана с линейной скоростью \(v\) следующим образом: \(v = R\omega\). После увеличения радиуса в 2 раза, новые значения угловой и линейной скоростей будут:

\(\omega" = \frac{\omega}{2}\)
\(v" = R"\omega" = 2R\left(\frac{\omega}{2}\right) = R\omega\)

Таким образом, угловая скорость уменьшится в 2 раза, а линейная скорость останется неизменной.