Пользуясь теоремой косинусов, определите стороны треугольника ABC, если AB равно 4 см, AC равно 6 см, а угол

Конечно! Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - сторона треугольника напротив угла \(C\), а \(a\) и \(b\) - остальные две стороны треугольника.

В данной задаче, известны стороны \(AB = 4\) см и \(AC = 6\) см, и угол \(A = 30\) градусов.

Мы хотим найти стороны \(BC\), \(AB\) и \(AC\). Давайте начнем с нахождения стороны \(BC\).

Используя теорему косинусов, мы можем записать:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ)\]

Вычисляем:

\[BC^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[BC^2 = 52 - 24 \sqrt{3}\]

\[BC \approx \sqrt{52 - 24 \sqrt{3}}\]

Используя калькулятор, получаем:

\[BC \approx 2.61 \, \text{см}\]

Теперь, чтобы найти сторону \(AB\) и \(AC\), мы можем использовать ту же теорему косинусов.

Для стороны \(AB\), угол \(B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\). Используя теорему косинусов, имеем:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(B)\]

Подставляя значения, получаем:

\[AB^2 = (2.61)^2 + 6^2 - 2 \cdot 2.61 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\]

Вычисляем:

\[AB^2 \approx 6.79 + 36 - 15.84\]

\[AB^2 \approx 26.95\]

\[AB \approx \sqrt{26.95}\]

Используя калькулятор, получаем:

\[AB \approx 5.19 \, \text{см}\]

Таким образом, сторона \(AB\) равна примерно 5.19 см.

Для стороны \(AC\), угол \(C\) равен 90 градусов. Используя теорему косинусов, имеем:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C)\]

Подставляя значения, получаем:

\[AC^2 = (2.61)^2 + (5.19)^2 - 2 \cdot 2.61 \cdot 5.19 \cdot \cos(90^\circ)\]

Вычисляем:

\[AC^2 \approx 6.79 + 26.95 - 0\]

\[AC^2 \approx 33.74\]

\[AC \approx \sqrt{33.74}\]

Используя калькулятор, получаем:

\[AC \approx 5.81 \, \text{см}\]

Таким образом, сторона \(AC\) равна примерно 5.81 см.

Итак, стороны треугольника ABC равны: \(AB \approx 5.19\) см, \(BC \approx 2.61\) см и \(AC \approx 5.81\) см.