1. Докажите, что точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют вершины параллелограмма. 2. Даны точки

а) Для доказательства того, что точки A, B, C и D образуют вершины параллелограмма, нам понадобится проверить два условия: вектор AB равен вектору CD и вектор AC равен вектору BD.

Рассмотрим вектор AB и вектор CD:
\(\vec{AB} = B - A = (4;5;-8) - (1;1;2) = (3;4;-10)\)
\(\vec{CD} = D - C = (-1;-5;10) - (2;-1;0) = (-3;-4;10)\)

Мы видим, что координаты векторов AB и CD совпадают. Таким образом, первое условие выполнено.

Теперь рассмотрим вектор AC и вектор BD:
\(\vec{AC} = C - A = (2;-1;0) - (1;1;2) = (1;-2;-2)\)
\(\vec{BD} = D - B = (-1;-5;10) - (4;5;-8) = (-5;-10;18)\)

Мы видим, что координаты векторов AC и BD совпадают. Таким образом, второе условие также выполнено.

Таким образом, мы доказали, что точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют вершины параллелограмма.

б) Для нахождения угла между векторами AB и AC, мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}
\]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - векторы AB и AC соответственно, \(\theta\) - искомый угол.

Подставим значения в формулу:
\(\vec{AB} = (4;5;-8) - (1;1;2) = (3;4;-10)\)
\(\vec{AC} = (2;-1;0) - (1;1;2) = (1;-2;-2)\)

Теперь найдем скалярное произведение векторов:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3;4;-10) \cdot (1;-2;-2) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot -2 + -10 \cdot -2 = 3 - 8 + 20 = 15\)

Теперь найдем длины векторов:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-10)^2} = \sqrt{9 + 16 + 100} = \sqrt{125} = 5\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \frac{15}{5 \cdot 3} = \frac{15}{15} = 1\)

Таким образом, значение косинуса равно 1. Для угла в диапазоне от 0 до 180 градусов, это означает, что угол между векторами AB и AC равен 0 градусов.

в) Чтобы найти расстояние между серединами отрезков AB и CD, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты середин отрезков AB и CD соответственно, d - искомое расстояние.

Найдем середины отрезков AB и CD:
Середина отрезка AB: \(\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + -8}{2}\right) = (2.5, 3, -3)\)
Середина отрезка CD: \(\left(\frac{2 + -1}{2}, \frac{-1 + -5}{2}, \frac{0 + 10}{2}\right) = (0.5, -3, 5)\)

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:
\[d = \sqrt{(2.5 - 0.5)^2 + (3 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} ≈ 10.2\]

Таким образом, расстояние между серединами отрезков AB и CD составляет около 10.2 единицы.