1. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую на две равные части, если угол между этими

Задача 1:

Доказательство основано на свойствах перпендикулярных диагоналей и прямоугольника, образованного этими диагоналями.

Пусть ABCD - четырехугольник, где AC и BD - его диагонали, а точка O - точка их пересечения.

Мы знаем, что угол между диагоналями AC и BD равен 90 градусов.

Далее, давайте рассмотрим прямоугольник ABOC, образованный этими диагоналями.

Поскольку прямоугольник ABOC имеет прямой угол в точке O и диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, то каждый из его углов также равен 90 градусов.

Теперь посмотрим на треугольники AOD и BOC, где OD и OC - это половины диагоналей AC и BD.

Очевидно, что треугольник AOD и треугольник BOC являются подобными, так как у них одинаковый угол O и стороны AO и BO разделяются прямыми углами.

Из свойств подобных треугольников известно, что их стороны пропорциональны. То есть: \(\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}\)

Так как OD и OC это половины диагоналей AC и BD соответственно, то получаем: \(\frac{AO}{\frac{1}{2}AC}=\frac{BO}{\frac{1}{2}BD}\)

Домножим обе части на 2, получим: \(2AO=BO\)

Заметим, что BO это другая половина диагонали BD, значит \(AO\) делит диагонали пополам.

Таким образом, мы доказали, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую на две равные части, если угол между этими диагоналями прямой, а диагонали перпендикулярны друг другу.

Задача 2:

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AC - гипотенуза, а угол BAC равен 15 градусов.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, является перпендикуляром, проведенным из вершины прямого угла к гипотенузе.

Для нахождения длины этой высоты, нам понадобится использовать тригонометрический синус угла BAC.

Определим значению trigonometric sine для угла 15 градусов:
\(\sin(15^{\circ}) = 0.2588190451\)

Пусть высота треугольника обозначена как h. Она разделяет гипотенузу на две части, в которых одна равна h, а другая - 1 - h.

Мы знаем, что высота разделяет гипотенузу пропорционально ближайшей к ней стороне.

Таким образом, пропорция получается следующей:
\(\frac{h}{1-h}=\sin(15^{\circ})\)

Решая эту пропорцию относительно h, получаем следующий результат:
\(h=\frac{\sin(15^{\circ})}{1+\sin(15^{\circ})}\)

Теперь подставляем значение trigonometric sine:
\(h=\frac{0.2588190451}{1+0.2588190451}\)

Вычисляя это значение получаем:
\(h\approx0.205\)

Итак, длина высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 15 градусов, и гипотенузой, равной 1, составляет около 0.205.