Каков косинус меньшего угла треугольника с вершинами в точках C(-2:8), P(6:2) и M(2:-6)?

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника с вершинами в точках C(-2:8), P(6:2) и M(2:-6), мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Шаг 1: Найдем векторы

Для начала, найдем векторы \(\vec{CP}\) и \(\vec{CM}\) исходя из координат вершин треугольника.

Вектор \(\vec{CP}\) можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки P:

\(\vec{CP} = (6 - (-2), 2 - 8) = (8,-6)\)

Аналогично, вектор \(\vec{CM}\) можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки M:

\(\vec{CM} = (2 - (-2), -6 - 8) = (4,-14)\)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение

Далее, нам нужно найти скалярное произведение этих двух векторов. Для этого умножим соответствующие координаты и сложим результаты.

\(\vec{CP} \cdot \vec{CM} = (8 \cdot 4) + (-6 \cdot -14) = 32 + 84 = 116\)

Шаг 3: Вычислим длины векторов

Теперь найдем длины векторов \(\vec{CP}\) и \(\vec{CM}\). Для этого воспользуемся формулой длины вектора:

\(|\vec{CP}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)

\(|\vec{CM}| = \sqrt{4^2 + (-14)^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212}\)

Шаг 4: Вычислим косинус угла

Наконец, используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{CP} \cdot \vec{CM}}{|\vec{CP}| \cdot |\vec{CM}|}\)

\(\cos(\theta) = \frac{116}{10 \cdot \sqrt{212}}\)

\(\cos(\theta) = \frac{116}{10 \cdot \sqrt{53}}\)

Шаг 5: Вычислим значение косинуса

Чтобы узнать значение косинуса меньшего угла, нам нужно найти значения функции косинус в соответствующем квадранте точки C.

Координаты точки C (-2:8) находятся во втором квадранте, поэтому меньший угол будет находиться в пределах 90 градусов и 180 градусов. В этих пределах функция косинус является отрицательной.

Итак, косинус меньшего угла треугольника равен:

\(\cos(\theta) = -\frac{116}{10 \cdot \sqrt{53}}\)

Это детальное решение позволит школьнику понять, как получить ответ и почему он правильный.