1) Докажите, что если имеется треугольник ABC и две точки D и E, не принадлежащие его плоскости, и равенство

Для начала, давайте рассмотрим первую задачу.

1) Для доказательства того, что пирамида DE параллельна плоскости ABC, нам необходимо проанализировать данные условия и применить соответствующие теоретические знания.

Предположим, что DE не параллельна плоскости ABC. Тогда, поскольку DE и ABC пересекаются, они образуют прямую l на плоскости ABC. Для удобства обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC как точку F.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и ABC. У них есть общая сторона АС, и мы знаем, что углы DАЕ и СВА равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых DE и BC.

Используя теорему о соответствующих углах, мы можем заключить, что треугольники ADE и ABC подобны.

Теперь рассмотрим отношение длин сторон треугольников ADE и ABC. У нас есть следующее равенство:

\(\frac{DE}{AB} = \frac{х}{1} + \frac{у}{1} = x + y\)

Так как треугольники ADE и ABC подобны, отношение длин их сторон должно быть одинаковым. Но у нас есть равенство DE = xAB + yAC, которое содержит другие значения, а именно точки D и E, не принадлежащие плоскости ABC.

Таким образом, мы приходим к противоречию. Должно быть DE = AB, чтобы пирамида DE была параллельна плоскости ABC.

Следовательно, мы можем заключить, что если DE = хAB + уAC выполняется, то пирамида DE параллельна плоскости ABC.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) В данной задаче нам необходимо выразить вектор АМ через векторы AB и AC, используя условия параллелограмма ABCD.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Так как диагонали AC и BD пересекаются в точке О, то мы можем использовать свойства построений параллелограмма.

Посмотрим на треугольники AOV и BOU, где O - точка пересечения диагоналей, U - точка пересечения стороны BC и прямой AM, а V - точка пересечения стороны CD и прямой AM.

По свойству параллелограмма, диагонали AC и BD делятся пополам точкой пересечения. То есть, AO = CO и BO = DO.

Теперь рассмотрим треугольник BOU. Мы знаем, что ВМ = МС. Обозначим эту длину как а.

Теперь рассмотрим треугольник AOV. Мы знаем, что AO = CO и BO = DO. Также, мы знаем, что BOU и AOV подобны, так как у них есть по двум равным углам: BOU и AOV углы OBU и OVA.

Таким образом, у нас есть следующие пропорции:

\(\frac{AO}{BO} = \frac{OV}{OU} = \frac{MV}{MU}\)

То есть,

\(\frac{q}{p} = \frac{a}{a+p}\)

Мы можем решить это уравнение относительно а и выразить его через p и q:

\(q(a+p) = pa\)

\(a = \frac{qp}{q-p}\)

Теперь мы можем выразить вектор АМ через векторы AB и AC, используя свойства параллелограмма и длину а:

\(AM = AB + BM = AB + (BM + MC) = AB + (2a + a) = AB + 3a\)

Подставляем выражение для а:

\(AM = AB + 3\left(\frac{qp}{q-p}\right)\)

Таким образом, мы выразили вектор АМ через векторы AB и AC, используя условия параллелограмма ABCD.

Надеюсь, что ответ был понятен и информативен для школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!