1) Докажите, что четырехугольник АА1В1В является прямоугольником, если точки А и В лежат вне плоскости α, АА1 и

1) Чтобы доказать, что четырехугольник \(AA_1B_1B\) является прямоугольником, мы будем использовать данные, предоставленные в условии задачи.

Из условия известно, что точки \(A\) и \(B\) лежат вне плоскости \(\alpha\), прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), и прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны.

Для начала, докажем, что углы \(AA_1B\) и \(BB_1A\) прямые. Из условия следует, что прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), а значит, они перпендикулярны поверхности, в которой лежит четырехугольник \(AA_1B_1B\). Тогда углы, образованные этими прямыми, являются прямыми углами.

Также, из условия следует, что прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны.

Теперь докажем, что противоположные стороны параллельны и равны. Рассмотрим отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\). Изначально мы знаем, что углы \(AA_1B\) и \(BB_1A\) прямые. Так как сумма углов внутри прямоугольника равна 360 градусов (4 прямых угла), а сумма углов в треугольнике равно 180 градусов, то углы \(AA_1B\) и \(BB_1A\) также равны между собой и равны 90 градусов каждый. Из свойств прямоугольника следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. Таким образом, \(AA_1\) параллельно \(BB_1\) и имеют равную длину.

Итак, мы доказали, что четырехугольник \(AA_1B_1B\) является прямоугольником, так как углы прямые, а противоположные стороны параллельны и равны.

2) Для доказательства того, что \(ABCD\) - квадрат, при условии, что плоскость \(\alpha\), проходящая через сторону \(AB\) ромба \(ABCD\), является перпендикулярной к \(BC\), мы следуем данным, предоставленным в условии задачи.

Из условия мы знаем, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна стороне \(BC\). Пусть \(M\) - точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\).

Так как плоскость \(\alpha\) перпендикулярна одной из сторон ромба и проходит через нее, то она также будет проходить через середину этой стороны. Таким образом, точка \(M\) является серединой стороны \(BC\).

Поскольку точка \(M\) является серединой стороны \(BC\), а диагонали ромба делятся пополам в точке их пересечения, то \(AM\) будет равно \(MC\).

Далее, докажем, что все стороны ромба равны между собой. Из равенства отрезков \(AM\) и \(MC\) следует, что треугольник \(AMC\) является равнобедренным со сторонами \(AM\) и \(MC\). Поскольку ромб \(ABCD\) - это равнобедренный четырехугольник, то сторона \(AB\) также будет равна \(BC\).

Таким образом, все стороны ромба \(ABCD\) равны между собой.

Итак, мы доказали, что \(ABCD\) - квадрат, так как все его стороны равны.

3) Для доказательства того, что прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), при условии, что точка \(M\) лежит вне плоскости равностороннего треугольника \(ABC\), а \(MA = MB = MC\), а \(O\) - центр треугольника, мы будем использовать предоставленные данные.

Из условия задачи мы знаем, что точка \(M\) лежит вне плоскости треугольника \(ABC\), а также, что \(MA = MB = MC\).

По определению, центр равностороннего треугольника \(ABC\) - это точка пересечения медиан треугольника. Так как все стороны треугольника равны и \(MA = MB = MC\), то точка \(M\) будет находиться на медиане и, следовательно, проходить через центр \(O\).

Таким образом, прямая \(MO\) является медианой треугольника \(ABC\) и проходит через его центр \(O\).

Также, по определению, медиана треугольника является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, прямая \(MO\) соединяет вершину \(M\) с серединой стороны \(BC\). Так как точка \(M\) находится вне плоскости треугольника, то прямая \(MO\) будет перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).