1. Determine: a) the domain of the function; b) the range of the function; c) intervals of increasing function

1. Дана функция. Найдем:

a) Область определения функции - это множество всех допустимых значений переменной x, при которых функция определена. В данном случае функция не имеет ограничений, поэтому ее область определения - все действительные числа.

b) Область значений функции - это множество всех значений y, которые функция может принимать. В данном случае у нас квадратичная функция, которая имеет форму поверхности "вниз". Значит, наименьшее значение, которое она может принять, будет достигаться в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины, воспользуемся формулой x = -b/(2a). В данном случае a = 1, b = -10. Подставляем значения и получаем x = -(-10)/(2*1) = 5. Затем подставляем найденное значение x обратно в функцию и получаем y = f(5) = 5^2 - 10*5 = 25 - 50 = -25. Значит, область значений функции - все действительные числа, кроме -25.

c) Интервалы возрастания функции - это промежутки значений переменной x, на которых функция возрастает. У данной функции квадратичный вид с отрицательным коэффициентом при x^2, поэтому она будет возрастать до точки вершины (включая эту точку), а затем убывать. Значит, интервалы возрастания функции будут (-∞, 5] (от минус бесконечности до или включая 5).

d) Интервалы убывания функции - это промежутки значений переменной x, на которых функция убывает. У данной функции они будут [5, +∞) (включая 5, и от 5 до плюс бесконечности).

e) Нули функции - это значения x, при которых функция принимает значение 0. Для нахождения нулей квадратичной функции подставим значение 0 в уравнение и решим его. В данном случае получаем 0 = x^2 - 10x. Сократим это уравнение, получим x(x-10) = 0. Таким образом, нулями функции являются x = 0 и x = 10.

f) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения. Для этого нам нужно найти интервалы, на которых функция больше 0. Подставим фиксированную точку из каждого интервала в функцию и определим знак значения. Так как у нас квадратичная функция, у нее есть вершина в точке (5, -25), и она отрицательна до этой точки и положительна после этой точки. Значит, интервал, на котором функция принимает положительные значения, будет (5, +∞).

g) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения. Аналогично предыдущему пункту, но находить интервалы, на которых функция меньше 0. В данном случае это будет (-∞, 5).

h) Максимальное и минимальное значение функции. Максимальное значение функции будет достигаться в вершине параболы, которую мы уже нашли ранее. Значит, максимальное значение функции будет -25. Минимального значения у функции нет, так как она стремится к минус бесконечности.

2. Дана функция f(x) = x^2 - 10x. Найдем значения f(5), f(-2) и f(0).

a) f(5) = 5^2 - 10*5 = 25 - 50 = -25
b) f(-2) = (-2)^2 - 10*(-2) = 4 + 20 = 24
c) f(0) = 0^2 - 10*0 = 0 - 0 = 0

3. Найдем нули функций:

a) y = -0.4x + 32
Заменим y на 0 и решим уравнение: 0 = -0.4x + 32
-0.4x = -32
x = -32 / (-0.4)
x = 80
Таким образом, ноль функции равен x = 80.

b) y = 9x(x-5)
Заменим y на 0 и решим уравнение: 0 = 9x(x-5)
Получаем два случая: x = 0 и x-5 = 0, то есть x = 5.
Таким образом, нулями функции являются x = 0 и x = 5.

c) y = √(x^2)
Так как корень из квадрата равен исходному числу, то ноль функции равен x = 0.

Условие не было завершено. Если у вас есть еще вопросы или потребность в дополнительной информации, пожалуйста, сообщите мне.