1) Что такое площадь правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 7 см? 2) Что такое

1) Площадь правильного треугольника можно найти, зная радиус \( R \) описанной около него окружности. Для этого воспользуемся следующей формулой:
\[ S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4} \]
где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина стороны треугольника.

В нашем случае треугольник правильный, поэтому все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как \( a \). Будем использовать теорему о радиусе описанной окружности: радиус \( R \) описанной окружности равен половине стороны треугольника.

\[ R = \frac{a}{2} \]

Подставляя эту формулу в формулу для площади, получим:

\[ S = \frac{{{(\frac{a}{2})}^2\sqrt{3}}}{4} \]

\[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Теперь подставляем известное значение радиуса \( R = 7 \) и решаем уравнение:

\[ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 7^2 \]

\[ a^2\sqrt{3} = 4 \cdot 7^2 \]

\[ a^2\sqrt{3} = 196 \]

Для нахождения стороны треугольника, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ a^2 \cdot 3 = 196^2 \]

\[ a^2 = \frac{{196^2}}{{3}} \]

\[ a = \sqrt{\frac{{196^2}}{{3}}} \]

После подсчета полученного значения \( a \), можно применить его в формуле для площади треугольника:

\[ S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4} \]

Это позволяет нам найти площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности равен 7 см.

2) Для нахождения периметра четырехугольника, если в него вписаны правильный треугольник и четырехугольник, и известен периметр треугольника, воспользуемся следующими формулами.

Периметр правильного треугольника равен тройному значению его стороны. Пусть длина стороны треугольника равна \( a \), тогда периметр \( P_т = 3a \).

Периметр четырехугольника равен сумме длин сторон треугольника и длине сторон четырехугольника. Пусть длина сторон четырехугольника равна \( b \), тогда периметр четырехугольника равен \( P_ч = 3a + 4b \).

Теперь у нас есть периметр треугольника равный \( P_т = 6\sqrt{3} \) и формула для периметра четырехугольника \( P_ч = 3a + 4b \).

Подставляем известное значение \( P_т \) и решаем уравнение:

\[ 6\sqrt{3} = 3a + 4b \]

\[ 4b = 6\sqrt{3} - 3a \]

\[ b = \frac{{6\sqrt{3} - 3a}}{4} \]

Таким образом, периметр четырехугольника составляет \( P_ч = 3a + \frac{{6\sqrt{3} - 3a}}{4} \).

Это позволяет нам найти периметр четырехугольника, если в него вписаны правильный треугольник и четырехугольник, и известен периметр треугольника.