1. Что такое первообразная функции f на некотором промежутке? а) Какая формула связывает производную F от х с f(х)?

1. Первообразная функции \(f\) на некотором промежутке это такая функция \(F(x)\), производная которой равна функции \(f(x)\). Другими словами, если \(F"(x) = f(x)\), то \(F(x)\) является первообразной функции \(f(x)\).

а) Формула связывающая производную \(F"(x)\) с функцией \(f(x)\) называется теоремой о первообразной. Она гласит, что если функция \(f(x)\) имеет первообразную \(F(x)\) на некотором промежутке, то

\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\),

где \(C\) - произвольная постоянная.

б) Дифференциал функции \(y = f(x)\) обозначается как \(dy\) или \(df(x)\) и определяется как

\(dy = f"(x) \, dx\),

где \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\), а \(dx\) - бесконечно малый прирост аргумента \(x\).

в) Первообразная функции \(f\) - это функция, производная которой равна функции \(f\).

г) Производная функции в точке - это значение производной функции в данной точке и обозначается как \(f"(x_0)\), где \(x_0\) - значение точки.

2. Множество первообразных для функции \(f(x)\) это множество всех функций \(F(x)\), производная которых равна функции \(f(x)\).

а) Множество первообразных называется неопределенным интегралом функции \(f(x)\) и обозначается как \(\int f(x) \, dx\).

б) Неопределенный интеграл обратный по отношению к операции дифференцирования и позволяет найти множество первообразных для функции \(f(x)\).

в) Постоянный множитель - это произвольная постоянная, которая добавляется при нахождении первообразной функции \(f(x)\).

г) Частная производная - это производная функции от одной из ее переменных при фиксированных значениях остальных переменных.

3. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием и обозначается символом \(\int\). Неопределенный интеграл функции \(f(x)\) выражается следующей формулой:

\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\),

где \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\), а \(C\) - произвольная постоянная, которая добавляется при нахождении неопределенного интеграла.