1) Чему равна площадь сектора OAD вписанного в круг с радиусом 4? 2) Каков радиус окружности, если площадь сектора

1) Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для нахождения площади сектора:

\[S = \frac{{\text{{доля центрального угла}}}}{{360°}} \times \pi r^2\]

где \(S\) - площадь сектора, \(r\) - радиус окружности, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

В нашем случае радиус окружности \(r\) равен 4, а центральный угол \(OAD\) составляет 360° (поскольку это вписанный сектор, который занимает всю окружность). Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{{360°}}{{360°}} \times \pi \cdot 4^2\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\]

Таким образом, площадь сектора \(OAD\) равна \(16\pi\) (или приблизительно 50.27).

2) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения площади сектора и формулой для нахождения площади треугольника:

\[S_{\text{{сектора}}} = \frac{{\text{{доля центрального угла}}}}{{360°}} \times \pi r^2\]
\[S_{\text{{треугольника}}} = \frac{{\text{{основание}} \times \text{{высота}}}}{2}\]

Мы знаем, что площадь сектора \(OBE\) равна и что центральный угол \(BOE\) равен 40°. Давайте найдем площадь треугольника \(OBE\). Предположим, что высота треугольника равна \(h\) (можем обозначить это, потому что треугольник \(OBE\) - равнобедренный и высота будет перпендикулярна к основанию \(OE\)). Тогда основание треугольника \(OE\) можно найти по формуле \(б умножить синус центрального угла\):

\(\text{{основание}} = 2r \cdot \sin(\frac{{BOE}}{2}) = 2r \cdot \sin(\frac{{40°}}{2}) = 2r \cdot \sin(20°)\)

Теперь мы можем представить площадь треугольника \(OBE\) в виде:

\[S_{\text{{треугольника}}} = \frac{{\text{{основание}} \times h}}{2} = \frac{{2r \cdot \sin(20°) \times h}}{2} = r \cdot h \cdot \sin(20°)\]

С другой стороны, площадь сектора \(OBE\) можно выразить через радиус и долю центрального угла:

\[S_{\text{{сектора}}} = \frac{{\text{{доля центрального угла}}}}{{360°}} \times \pi r^2\]

Из условия задачи мы знаем, что площадь сектора \(OBE\) равна , поэтому мы можем записать следующее:

\[S_{\text{{сектора}}} = = \frac{{40°}}{{360°}} \times \pi r^2\]

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно приравнять оба выражения для площади и решить уравнение относительно радиуса \(r\):

\[r \cdot h \cdot \sin(20°) = \frac{{40°}}{{360°}} \times \pi r^2\]

Поскольку у нас есть только одно уравнение с одной неизвестной величиной (\(r\)), мы можем решить его методом подстановки или алгебраическим путем.

3) Чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать формулу для нахождения площади окружности:

\[S = \pi r^2\]

Мы знаем, что правильный треугольник имеет все стороны равными. Обозначим длину стороны треугольника через \(a\). Также известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен длине стороны, то есть \(r = a\).

Теперь мы можем записать формулу для площади окружности, используя известное значение радиуса:

\[S = \pi a^2\]

Таким образом, площадь окружности равна \(\pi a^2\).