1. Атындағы теңдеулерді ах2 + bx + c = 0 формасына айналдырасыз келтіріңіз: (3х + 2)2 = (2x – 1)(х + 4) – 1,7 2

1. Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки слева от знака равенства и приведем подобные слагаемые:

\[ (3x + 2)^2 = (2x - 1)(x + 4) - 1.7 \]

\[ 9x^2 + 12x + 4 = 2x^2 + 7x - 4 + 1.7 \]

Теперь соберем все слагаемые с x на одной стороне уравнения, а все свободные числа на другой:

\[ 9x^2 + 12x - 2x^2 - 7x - 5.7 = 0 \]

\[ 7x^2 + 5x - 5.7 = 0 \]

Таким образом, основным уравнением является:

\[ 7x^2 + 5x - 5.7 = 0 \]

2. а) Для решения квадратного уравнения \(5y^2 - 2y - 3 = 0\) найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-2)^2 - 4(5)(-3) \]

\[ D = 4 + 60 = 64 \]

Дискриминант равен 64. Если дискриминант положительный (\(D > 0\)), то уравнение имеет два различных вещественных корня. В данном случае, уравнение имеет два вещественных корня.

б) Теперь рассмотрим уравнение \(kx^2 - 2x + k = 0\). Чтобы уравнение имело одинаковые корни, дискриминант должен равняться нулю (\(D = 0\)). Подставим значение дискриминанта в формулу:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(k)(k) = 4 - 4k^2 \]

Теперь приравняем выражение к нулю и решим полученное уравнение:

\[ 4 - 4k^2 = 0 \]

\[ 4k^2 = 4 \]

\[ k^2 = 1 \]

\[ k = \pm 1 \]

Таким образом, при \(k = \pm 1\), уравнение имеет одинаковые корни.

3. Дано уравнение, у которого три корня: \(x = 0\), \(x^2 = -15\). Используя теорему Виета, мы можем записать эти корни как сумму и произведение всех корней:

\[ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \]
\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -15 \]

Так как у нас только два корня, а третий мы знаем равным нулю, то:

\[ x_1 + x_2 = 0 \]
\[ x_1 \cdot x_2 \cdot 0 = -15 \]

Теперь посчитаем эти сумму и произведение:

\[ x_1 + x_2 = 0 \]
\[ x_1 \cdot x_2 \cdot 0 = 0 \]

4. а) Для нахождения множителей \(a\) и \(b\) в уравнении \(x^2 + 12x + 27 = (x + a)(x + b)\) сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в обоих частях уравнения. То есть:

\[ a + b = 12 \]
\[ ab = 27 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Заменим одно уравнение вторым:

\[ a = 12 - b \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ (12 - b)(b) = 27 \]

Раскроем скобки:

\[ 12b - b^2 = 27 \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ b^2 - 12b + 27 = 0 \]

Решим это уравнение, найдя его корни:

\[ b_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(27)}}{2(1)} \]
\[ b_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(27)}}{2(1)} \]

\[ b_1 = \frac{12 + \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9 \]
\[ b_2 = \frac{12 - \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3 \]

Таким образом, \(a = 3\) и \(b = 9\).

б) Если длина \(x + a\) равна \(m\) и длина \(x + b\) равна \(n\), то площадь прямоугольника можно вычислить как произведение длин сторон:

\[ S = m \cdot n \]

В данном случае, длины сторон прямоугольника равны \(x + a\) и \(x + b\), поэтому:

\[ S = (x + a)(x + b) = (x + 3)(x + 9) \]

Таким образом, площадь прямоугольника равна \((x + 3)(x + 9)\) квадратных метров.