1. Атындағы теңдеулерді ах2 + bx + c = 0 формасына айналдырасыз келтіріңіз: (3х + 2)2 = (2x – 1)(х + 4) – 1,7 2

1. Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки слева от знака равенства и приведем подобные слагаемые:

$$(3x+2{)}^2=(2x-1)(x+4)-1.7$$

$$9x^2+12x+4=2x^2+7x-4+1.7$$

Теперь соберем все слагаемые с x на одной стороне уравнения, а все свободные числа на другой:

$$9x^2+12x-2x^2-7x-5.7=0$$

$$7x^2+5x-5.7=0$$

Таким образом, основным уравнением является:

$$7x^2+5x-5.7=0$$

2. а) Для решения квадратного уравнения $5y^2-2y-3=0$ найдем дискриминант:

$$D=b^2-4ac$$

$$D=(-2{)}^2-4(5)(-3)$$

$$D=4+60=64$$

Дискриминант равен 64. Если дискриминант положительный ($D>0$), то уравнение имеет два различных вещественных корня. В данном случае, уравнение имеет два вещественных корня.

б) Теперь рассмотрим уравнение $k{x}^2-2x+k=0$. Чтобы уравнение имело одинаковые корни, дискриминант должен равняться нулю ($D=0$). Подставим значение дискриминанта в формулу:

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4(k)(k)=4-4k^2$$

Теперь приравняем выражение к нулю и решим полученное уравнение:

$$4-4k^2=0$$

$$4k^2=4$$

$$k^2=1$$

$$k=\pm 1$$

Таким образом, при $k=\pm 1$, уравнение имеет одинаковые корни.

3. Дано уравнение, у которого три корня: $x=0$, $x^2=-15$. Используя теорему Виета, мы можем записать эти корни как сумму и произведение всех корней:

$$x_1+x_2+x_3=0$$
$$x_1\cdot x_2\cdot x_3=-15$$

Так как у нас только два корня, а третий мы знаем равным нулю, то:

$$x_1+x_2=0$$
$$x_1\cdot x_2\cdot 0=-15$$

Теперь посчитаем эти сумму и произведение:

$$x_1+x_2=0$$
$$x_1\cdot x_2\cdot 0=0$$

4. а) Для нахождения множителей $a$ и $b$ в уравнении $x^2+12x+27=(x+a)(x+b)$ сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обоих частях уравнения. То есть:

$$a+b=12$$
$$ab=27$$

Теперь решим эту систему уравнений. Заменим одно уравнение вторым:

$$a=12-b$$

Подставим это значение во второе уравнение:

$$(12-b)(b)=27$$

Раскроем скобки:

$$12b-b^2=27$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$b^2-12b+27=0$$

Решим это уравнение, найдя его корни:

$$b_1=\frac{-(-12)+\sqrt{(-12{)}^2-4(1)(27)}}{2(1)}$$
$$b_2=\frac{-(-12)-\sqrt{(-12{)}^2-4(1)(27)}}{2(1)}$$

$$b_1=\frac{12+\sqrt{144-108}}{2}=\frac{12+\sqrt{36}}{2}=\frac{12+6}{2}=9$$
$$b_2=\frac{12-\sqrt{144-108}}{2}=\frac{12-\sqrt{36}}{2}=\frac{12-6}{2}=3$$

Таким образом, $a=3$ и $b=9$.

б) Если длина $x+a$ равна $m$ и длина $x+b$ равна $n$, то площадь прямоугольника можно вычислить как произведение длин сторон:

$$S=m\cdot n$$

В данном случае, длины сторон прямоугольника равны $x+a$ и $x+b$, поэтому:

$$S=(x+a)(x+b)=(x+3)(x+9)$$

Таким образом, площадь прямоугольника равна $(x+3)(x+9)$ квадратных метров.