1. а) Найдите результат произведения 3/5 умножить на 4/9. б) Найдите результат деления 7/9 на 21/25. в) Найдите

1. а) Для нахождения результата произведения $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{9}$ необходимо перемножить числители и знаменатели:

$$\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{9}=\frac{3\cdot 4}{5\cdot 9}$$

Числитель будет равен $3\cdot 4=12$, а знаменатель будет равен $5\cdot 9=45$, поэтому результат равен:

$$\frac{12}{45}$$

Эту дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$$\frac{12}{45}=\frac{4}{15}$$

Итак, результат произведения $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{9}$ равен $\frac{4}{15}$.

б) Для нахождения результата деления $\frac{7}{9}$ на $\frac{21}{25}$ необходимо умножить первую дробь на обратную второй:

$$\frac{7}{9}÷\frac{21}{25}=\frac{7}{9}\cdot \frac{25}{21}$$

При умножении числителя и знаменателя, получим:

$$\frac{7\cdot 25}{9\cdot 21}$$

Числитель равен $7\cdot 25=175$, а знаменатель равен $9\cdot 21=189$, поэтому результат равен:

$$\frac{175}{189}$$

Эту дробь можно также упростить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 7:

$$\frac{175}{189}=\frac{25}{27}$$

Итак, результат деления $\frac{7}{9}$ на $\frac{21}{25}$ равен $\frac{25}{27}$.

в) Для нахождения результата возведения в квадрат $\frac{3}{4}$ и умножения его на 2 необходимо выполнить два шага. Вначале возводим в квадрат $\frac{3}{4}$:

$${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$$

Получаем дробь $\frac{9}{16}$. Затем умножаем ее на 2:

$$\frac{9}{16}\cdot 2=\frac{9\cdot 2}{16}=\frac{18}{16}$$

Мы можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$$\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$$

Итак, результат возведения в квадрат $\frac{3}{4}$ и умножения его на 2 равен $\frac{9}{8}$.

2. а) Для нахождения результата выражения $\frac{5}{7}$ умножить на $(\frac{21}{20}-\frac{7}{30})$, а затем добавить результат деления $\frac{16}{21}$ на $\frac{8}{7}$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала выполним вычитание внутри скобок:

$$\frac{21}{20}-\frac{7}{30}=\frac{21\cdot 30}{20\cdot 30}-\frac{7\cdot 20}{30\cdot 20}=\frac{630}{600}-\frac{140}{600}$$

Общий знаменатель равен 600, поэтому:

$$\frac{630}{600}-\frac{140}{600}=\frac{630-140}{600}=\frac{490}{600}$$

$$\frac{490}{600}$$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 10:

$$\frac{490}{600}=\frac{49}{60}$$

Получаем $\frac{49}{60}$.

Затем умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{49}{60}$:

$$\frac{5}{7}\cdot \frac{49}{60}=\frac{5\cdot 49}{7\cdot 60}=\frac{245}{420}$$

Снова произведем сокращение дроби, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 35:

$$\frac{245}{420}=\frac{7}{12}$$

Итак, результат выражения $\frac{5}{7}$ умножить на $(\frac{21}{20}-\frac{7}{30})$, а затем добавить результат деления $\frac{16}{21}$ на $\frac{8}{7}$ равен $\frac{7}{12}$.

б) Для нахождения результата выражения ${(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}^3$ разделенного на ${(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}^2$, затем умноженного на $\frac{3}{2}$ в квадрате, нужно выполнить несколько шагов.

Внутри первых парных скобок выполняем вычитание:

$${(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}^3={(\frac{3}{6}-\frac{2}{6})}^3={\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{1^3}{6^3}=\frac{1}{216}$$

Возведение в куб эквивалентно умножению числителя и знаменателя на себя два раза:

$$\frac{1^3}{6^3}=\frac{1\cdot 1\cdot 1}{6\cdot 6\cdot 6}=\frac{1}{6^2\cdot 6}=\frac{1}{216}$$

Получаем $\frac{1}{216}$.

Внутри вторых парных скобок выполняем вычитание:

$${(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}^2={(\frac{4}{12}-\frac{3}{12})}^2={\left(\frac{1}{12}\right)}^2=\frac{1^2}{{12}^2}=\frac{1}{144}$$

Возведение в квадрат эквивалентно умножению числителя и знаменателя на себя:

$$\frac{1^2}{{12}^2}=\frac{1\cdot 1}{12\cdot 12}=\frac{1}{{12}^2}=\frac{1}{144}$$

Получаем $\frac{1}{144}$.

Теперь выполняем деление:

$$\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{144}}=\frac{1}{216}\cdot \frac{144}{1}=\frac{1\cdot 144}{216\cdot 1}=\frac{144}{216}$$

Мы можем упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 72:

$$\frac{144}{216}=\frac{2}{3}$$

Итак, результат выражения ${(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}^3$ разделенного на ${(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}^2$, затем умноженного на $\frac{3}{2}$ в квадрате, равен $\frac{2}{3}$.

3. У нас есть 420 рублей. Израсходуем $\frac{1}{3}$ этой суммы:

$$420\cdot \frac{1}{3}=\frac{420}{3}=140$$

Мы потратили 140 рублей.

Затем израсходуем $\frac{1}{4}$ оставшейся суммы:

$$420-140=280$$
$$280\cdot \frac{1}{4}=\frac{280}{4}=70$$

Мы потратили еще 70 рублей.

Чтобы найти остаток, вычтем из начальной суммы сумму, потраченную на покупки:

$$420-140-70=210$$

Итак, осталось 210 рублей.

4. Саша прочитал $\frac{3}{7}$ всей книги на неделе, а на этой неделе прочитал половину всего непрочитанного материала. Давайте определим, какую часть всей книги прочитал Саша за эту неделю.

Пусть $x$ - это общее количество страниц в книге.

За неделю Саша прочитал $\frac{3}{7}$ всей книги. Это равно $\frac{3}{7}\cdot x$ страниц.

На дополнительной неделе Саша прочитал половину всего непрочитанного материала. Это также $\frac{1}{2}$ от оставшегося количества страниц. Так что он прочитал $\frac{1}{2}\cdot (x-\frac{3}{7}x)$ страниц.

Чтобы найти общее количество страниц, которые Саша прочитал за неделю, мы должны сложить эти два значения:

$$\frac{3}{7}x+\frac{1}{2}(x-\frac{3}{7}x)$$

Давайте рассчитаем это:

$$\frac{3}{7}x+\frac{1}{2}(x-\frac{3}{7}x)=\frac{3}{7}x+\frac{1}{2}\cdot (\frac{7}{7}x-\frac{3}{7}x)=\frac{3}{7}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}x=\frac{3}{7}x+\frac{2}{7}x=\frac{5}{7}x$$

Итак, Саша прочитал $\frac{5}{7}x$ страниц всей книги за эту неделю.