1. а) Как можно вычислить выборочную среднюю методом произведений, используя статистическое распределение выборки?

Шаг 1. Вычисление выборочной средней методом произведений:
а) Для вычисления выборочной средней методом произведений нужно знать статистическое распределение выборки. Выборка представляет собой набор значений, полученных из генеральной совокупности.

Для вычисления выборочной средней (x-штрих) методом произведений нужно умножить каждое значение из выборки на соответствующую вероятность этого значения и сложить полученные произведения.

\[x-штрих = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\]

где x-штрих - выборочная средняя, x_i - значения выборки, p_i - вероятность соответствующего значения.

б) Для вычисления выборочного среднего квадратического отклонения методом произведений используется похожий принцип. Необходимо умножить квадрат разности каждого значения выборки на соответствующую вероятность этого значения, сложить полученные произведения и извлечь из результата квадратный корень.

\[s = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - x-штрих)^2 \cdot p_i}\]

где s - выборочное среднее квадратическое отклонение, x_i - значения выборки, x-штрих - выборочная средняя, p_i - вероятность соответствующего значения.

Шаг 2. Построение доверительных интервалов для оценки неизвестного математического ожидания:
Для построения доверительных интервалов с заданной надежностью γ=0,95 исходя из статистического распределения выборки (нормального распределения) используется формула:

\[\bar{x} \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

где \(\bar{x}\) - выборочное среднее, z - стандартное нормальное значение, \(\sigma\) - стандартное отклонение генеральной совокупности (если оно известно) или выборочное среднее квадратическое отклонение, n - размер выборки.

Шаг 3. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием критерия Пирсона:
Для проверки гипотезы о нормальности распределения генеральной совокупности с заданным уровнем значимости α=0,05 можно использовать критерий Пирсона (хи-квадрат).

Критерий Пирсона сравнивает фактические наблюдаемые частоты некоторых значений с ожидаемыми частотами, рассчитанными на основе предположенного нормального распределения. Различие между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами измеряется статистикой критерия Пирсона.

Если полученное значение статистики превышает критическое значение для выбранного уровня значимости, гипотеза о нормальности отклоняется.

Надеюсь, эти пояснения помогут вам лучше понять решение задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!