1. (4.1.) В четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 с квадратным основанием ABCD, точка M является центром боковой грани

а) Для доказательства того, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в соотношении 2 : 1, измеряя от точки A, нам понадобится использовать свойство подобных треугольников.

Поскольку точка M является центром боковой грани BCC1B1, то отрезок BM является медианой треугольника BC1C. По свойству медианы в треугольнике, медиана делит сторону треугольника в соотношении 2 : 1 от вершины.

Таким образом, получаем, что BM : MC = 2 : 1.

Теперь рассмотрим треугольник A1MD1. Так как точка M является центром боковой грани, то отрезок A1M является медианой треугольника A1CD1. По аналогии с предыдущим случаем, медиана делит сторону треугольника в соотношении 2 : 1 от вершины.

Таким образом, получаем, что A1M : MD1 = 2 : 1.

Заметим также, что точка M лежит на плоскости A1D1M, а значит, A1M и MD1 принадлежат этой плоскости.

Теперь рассмотрим треугольник AC1D1. Плоскость A1D1M пересекает диагональ AC1 в точке M. По теореме пересечения плоскостей, если две плоскости пересекают третью прямую, то их пересечение будет прямой.

Итак, плоскость A1D1M пересекает диагональ AC1 в точке M, следовательно, плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в соотношении 2 : 1, измеряя от точки A. Доказательство завершено.

б) Чтобы найти расстояние от точки M до линии BD1, нам нужно найти высоту призмы BCC1B1, а затем применить формулу для расстояния от точки до прямой.

Высота призмы BCC1B1 равна боковому ребру, то есть 3.

Теперь мы можем применить формулу для расстояния от точки до прямой. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

где (x, y) - координаты точки, A, B, C - коэффициенты уравнения прямой.

Пусть линия BD1 имеет уравнение \(x - y - 6 = 0\).

Точка M имеет координаты (3, 3, 0), потому что она является центром боковой грани BCC1B1.

Подставим значения в формулу:

\[d = \frac{{|3 - 3 - 6|}}{{\sqrt{{1^2 + (-1)^2}}}} = \frac{{|-3|}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{3}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{3\sqrt{2}}}{{2}}\]

Таким образом, расстояние от точки M до линии BD1 равно \(\frac{{3\sqrt{2}}}{{2}}\).

Ответ: а) Плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в соотношении 2 : 1, измеряя от точки A. б) Расстояние от точки M до линии BD1 равно \(\frac{{3\sqrt{2}}}{{2}}\).