Какова длина диагонали куба с сечением площадью 25√2 см^2? Какова площадь поверхности куба? Каков его объем?

Длина диагонали куба можно найти с помощью теоремы Пифагора, учитывая что диагональ, боковая грань и диагональ сечения образуют прямоугольный треугольник. Поэтому, для начала найдем сторону куба.

Так как площадь сечения куба равна \(25\sqrt{2} \, \text{см}^2\), то площадь одной грани куба также равна \(25\sqrt{2} \, \text{см}^2\).

Площадь одной грани куба можно найти, возведя в квадрат длину одной стороны. То есть, \((\text{сторона})^2 = 25\sqrt{2} \, \text{см}^2\).

Чтобы найти сторону куба, извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[\text{сторона} = \sqrt{25\sqrt{2} \, \text{см}^2}.\]

После упрощения:

\[\text{сторона} = 5\sqrt[4]{2} \, \text{см}.\]

Теперь найдем длину диагонали куба. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\[\text{длина диагонали} = \sqrt{3} \times \text{сторона}.\]

Подставив значение стороны:

\[\text{длина диагонали} = \sqrt{3} \times 5\sqrt[4]{2} \, \text{см}.\]

Чтобы упростить выражение, умножим числа внутри корня:

\[\text{длина диагонали} = 5\sqrt{3}\sqrt[4]{2} \, \text{см}.\]

Теперь рассмотрим площадь поверхности куба. Площадь поверхности куба можно найти, умножив площадь одной грани на 6, так как куб имеет 6 граней.

Таким образом:

\[\text{площадь поверхности} = 6 \times \text{площадь одной грани}.\]

Подставив значение площади одной грани:

\[\text{площадь поверхности} = 6 \times 25\sqrt{2} \, \text{см}^2.\]

Теперь упростим выражение:

\[\text{площадь поверхности} = 150\sqrt{2} \, \text{см}^2.\]

Наконец, найдем объем куба. Объем куба можно найти, возводя длину стороны в куб:

\[\text{объем} = \text{сторона}^3.\]

Подставив значение стороны:

\[\text{объем} = (5\sqrt[4]{2} \, \text{см})^3.\]

Упростим выражение:

\[\text{объем} = 125\sqrt[4]{2} \, \text{см}^3.\]

Таким образом, длина диагонали куба равна \(5\sqrt{3}\sqrt[4]{2} \, \text{см}\), площадь поверхности куба равна \(150\sqrt{2} \, \text{см}^2\), а его объем равен \(125\sqrt[4]{2} \, \text{см}^3\).