05. Сколько всевозможных отрезков (хорд) с концами в отмеченных точках: а) с концами разного цвета; б) с концами

05. Чтобы решить эту задачу, давайте представим себе отмеченные точки в виде круга. Предположим, что у нас есть n отмеченных точек. Каждая из этих точек может быть началом или концом отрезка, поэтому для каждой точки есть n-1 возможностей выбрать парную ей точку. Однако, таким образом мы посчитаем каждый отрезок дважды (раз с точкой в начале и раз с точкой в конце).

а) Чтобы найти количество отрезков с концами разного цвета, нам нужно разделить общее количество отрезков на два. Так как общее количество отрезков равно n*(n-1), где n - количество отмеченных точек, получаем формулу: \(\frac{n(n-1)}{2}\).

б) Чтобы найти количество отрезков с концами одинакового цвета, нам просто нужно вычесть количество отрезков с концами разного цвета из общего количества отрезков. Следовательно, получаем формулу: \(\frac{n(n-1)}{2} - \frac{n}{2} = \frac{n(n-1 - n)}{2} = \frac{n}{2}\).

06. Возможно, что это правда. Если у каждого лунатика на Луне есть нечетное количество рук, то общее количество рук для всех лунатиков также должно быть нечетным. Предположим, что общее количество рук нечетно, то есть суммарное количество рук, умноженное на нечетное число, должно быть нечетным.

Теперь представим ситуацию, когда все лунатики взялись за руки друг с другом. Поскольку каждому лунатику требуется только одна рука, чтобы вступить в цепь с другим лунатиком, общее количество рук, задействованных в цепи, должно быть четным. Но мы предположили, что общее количество рук нечетно.

Таким образом, это противоречие говорит о том, что утверждение Барона Мюнхгаузена не может быть правдой.

07. Чтобы доказать, что из любых трех целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых делится на два, давайте рассмотрим возможные случаи.

- Случай 1: Все три числа четные. Если у нас есть три четных числа, то их сумма всегда будет четной, так как сумма двух четных чисел также является четной.
- Случай 2: Есть два четных числа и одно нечетное. Если у нас есть два четных числа и одно нечетное число, то сумма двух четных чисел будет четной, а сумма четного числа и нечетного числа будет нечетной.
- Случай 3: Все три числа нечетные. Даже в этом случае можно выбрать два числа, сумма которых будет четной. Например, если мы возьмем два из трех нечетных чисел, их сумма будет нечетной, но если мы возьмем два одинаковых нечетных числа, их сумма будет четной.

Таким образом, из любых трех целых чисел всегда можно выбрать два числа, сумма которых делится на два.