Знайти площу круга, що вписаний в правильний многокутник, сума кутів якого дорівнює 1800°, якщо периметр многокутника

Щоб знайти площу круга, який вписаний в правильний многокутник, нам спочатку потрібно знайти радіус цього круга. Для цього можемо скористатися формулою, яка стосується вписаних кругів в правильні многокутники.

Формула для знаходження радіуса вписаного круга в правильний n-кутник з периметром P задана так:
\[r = \frac{P}{2n \cdot \tan \frac{\pi}{n}}\]

У нашому випадку n-кутник є правильним, а периметр дорівнює 48 см, тому можемо підставити ці значення в формулу:
\[r = \frac{48}{2n \cdot \tan \frac{\pi}{n}}\]

Тепер нам потрібно знайти значення кута n-кутника, який можна знайти, розділивши суму кутів на кількість сторін. В нашому випадку, сума кутів n-кутника дорівнює 180°. Отже, кут одного кута n-кутника можна знайти за формулою:
\[180 = \frac{1800}{n}\]

Тепер ми можемо знайти радіус круга:
\[r = \frac{48}{2n \cdot \tan \frac{\pi}{n}}\]

А потім використати формулу для обчислення площі круга, яка виражається через радіус круга:
\[S = \pi \cdot r^2\]

Отже, ми отримали формулу для обчислення площі круга, вписаного в правильний многокутник зі сумою кутів 1800° та периметром 48 см. Тепер ми можемо підставити в цю формулу значення радіуса, яке ми знайдемо за допомогою попередньої формули.

Таким чином, потрібно обчислити радіус круга, а потім використати його для знаходження площі круга. Спочатку обчислімо значення кута n-кутника:

\[180 = \frac{1800}{n}\]

Розв"яжемо це рівняння для n:

\[n = \frac{1800}{180} = 10\]

Тепер можемо обчислити радіус круга:

\[r = \frac{48}{2 \cdot 10 \cdot \tan \frac{\pi}{10}}\]

Знайдемо значення тангенса \(\frac{\pi}{10}\), за допомогою наукового калькулятора, і підставимо це значення в формулу:

\[r = \frac{48}{2 \cdot 10 \cdot \tan \frac{\pi}{10}} \approx \frac{48}{2 \cdot 10 \cdot 0.176327} \approx \frac{48}{0.352654} \approx 136.17\]

Отже, радіус круга дорівнює приблизно 136.17 см.

Залишилося тільки знайти площу круга, використовуючи отриманий радіус:

\[S = \pi \cdot r^2 = 3.14 \cdot 136.17^2 \approx 3.14 \cdot 18532.65 \approx 58147.93\]

Отже, площа круга дорівнює приблизно 58147.93 см².

Відповідь округлюється до десяти, тому остаточна відповідь буде:
Площа круга, що вписаний в правильний многокутник, з сумою кутів 1800° та периметром 48 см, дорівнює приблизно 58147.93 см², округлена до десяти.