Знайдіть значення у, при яких числа 2у-3, у+3 та у-3 є послідовними членами геометричної прогресії. Знайдіть ці числа

Для того, чтобы найти значения \(у\), при которых числа \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, мы должны установить соотношение между этими числами.

Предположим, что \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\) образуют геометрическую прогрессию с общим множителем \(r\). Тогда мы можем записать следующее:

\[у+3 = (2у-3) \cdot r\] - (1)

\[у-3 = у+3 \cdot r\] - (2)

Для начала решим уравнение (1). Раскроем скобки:

\[у+3 = 2r⋅у-3r\]

Перенесем все члены с \(у\) на одну сторону:

\[2r⋅у - у = 3r+3\]

\[у(2r-1)= 3r+3\]

\[у = \frac{3r+3}{2r-1}\] - (3)

Теперь подставим это значение \(у\) в уравнение (2) и решим его. Раскроем скобки:

\[у-3 = (у+3) \cdot r\]

Подставим значение \(у\), найденное в уравнении (3):

\[\frac{3r+3}{2r-1}-3 = \left(\frac{3r+3}{2r-1}+3\right) \cdot r\]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на \(2r-1\) для устранения дроби:

\[(3r+3)-(2r-1)⋅3=(3r+3)⋅r⋅(2r-1)\]

Раскроем скобки:

\[3r+3-6r+3=3r^2-3r+3r+3\]

\[6=3r^2-3r+3\]

\[3r^2-6r+3=0\]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить, например, с помощью формулы:

\[r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

где \(a=3\), \(b=-6\) и \(c=3\).

Подставим значения и найдем \(r\):

\[r=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4⋅3⋅3}}{2⋅3}\]

\[r=\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{6}\]

\[r=\frac{6}{6}\]

\[r=1\]

Теперь, когда у нас есть значение \(r\), можно подставить его в уравнение (3) и найти \(у\):

\[у = \frac{3⋅1+3}{2⋅1-1}\]

\[у = \frac{6}{1}\]

\[у = 6\]

Таким образом, значения \(у\), при которых числа \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\) образуют геометрическую прогрессию, равны \(r = 1\) и \(у = 6\).

Итак, числа в данной геометрической прогрессии равны 3, 6 и 9.