Знайдіть співвідношення площі основи та площі найбільшого діагонального перерізу правильної шестикутної призми

Щоб знайти співвідношення площі основи (\(S_{\text{осн}}\)) до площі найбільшого діагонального перерізу (\(S_{\text{діаг}}\)) правильної шестикутної призми, спершу розглянемо основу самої призми.

Правильний шестикутник має всі сторони однакової довжини та всі кути рівні між собою. Тому можемо розглянути рівносторонній трикутник. Знаючи довжину його сторони (\(a\)), ми можемо знайти його площу (\(S_{\text{трик}}\)) за формулою:

\[S_{\text{трик}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2\]

Тепер давайте розглянемо діагональний переріз призми. В правильному шестикутнику, діагональ перерізує всі сторони трикутника, утворюючи рівнобедренний трикутник. Знаючи довжину сторони (\(a\)) правильного трикутника, можемо знайти довжину його основи (\(b\)), використовуючи формулу:

\[b = 2a\]

Далі, знаючи довжину основи (\(b\)), ми можемо знайти висоту рівнобедренного трикутника (\(h\)), використовуючи формулу:

\[h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

А знаючи висоту (\(h\)) рівнобедренного трикутника, можемо знайти його площу (\(S_{\text{діаг}}\)), використовуючи формулу:

\[S_{\text{діаг}} = \frac{b \cdot h}{2}\]

Отже, ми отримали співвідношення площі основи (\(S_{\text{осн}}\)) до площі найбільшого діагонального перерізу (\(S_{\text{діаг}}\)) правильної шестикутної призми:

\[S_{\text{осн}} : S_{\text{діаг}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2 : \frac{b \cdot h}{2}\]

Тут \(a\) - довжина сторони рівностороннього трикутника, \(b\) - довжина основи рівнобедренного трикутника, \(h\) - висота рівнобедренного трикутника.

Задача вирішена!