Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо кут при вершині двічі менший за кут при основі і бісектриса кута

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства и характеристики рівнобедреного трикутника. Приступим.

Пусть \(a\) - основа рівнобедреного трикутника, \(b\) - бісектриса кута при основі, а \(\alpha\) - кут при вершині трикутника. По условию дано, что кут при вершині двічі меньше, чем кут при основі, то есть \(\angle\alpha=\frac{\angle\beta}{2}\).

Рассмотрим треугольник, в котором \(\angle\gamma\) является внешним углом \(a\). Для этого треугольника можно записать следующие уравнения:

\[
\begin{align*}
\angle\gamma &= \angle\alpha + \angle\beta \\
\gamma &= \frac{\beta}{2} + \beta \\
\gamma &= \frac{3\beta}{2}
\end{align*}
\]

В сумме углов треугольника \(\gamma\) равна \(180^{\circ}\), поэтому получаем уравнение:

\[
\frac{3\beta}{2} + \beta + \beta = 180^{\circ}
\]

Суммируя все слагаемые, получаем:

\[
\frac{5\beta}{2} = 180^{\circ}
\]

Делим оба члена этого уравнения на 5, чтобы выразить \(\beta\):

\[
\beta = \frac{2}{5} \cdot 180^{\circ} = 72^{\circ}
\]

Теперь, используя найденное значение \(\beta\), найдем угол \(\alpha\):

\[
\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}
\]

Итак, мы нашли значения для двух углов в рівнобедренного трикутника: \(\beta = 72^{\circ}\) и \(\alpha = 36^{\circ}\).

Для того, чтобы найти основу \(a\) рівнобедреного трикутника, нам понадобится еще одно свойство этого типа треугольников, которое заключается в том, что углы при основании равны. Таким образом, имеем уравнение:

\[
2\alpha + \beta = 180^{\circ}
\]

Подставляем известные значения углов:

\[
2 \cdot 36^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}
\]

Суммируем их:

\[
72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}
\]

Отсюда следует, что равенство выполняется. Значит, значение основы \(a\) рівнобедреного трикутника равно:

\[
a = \text{{основа}} = \boxed{72^{\circ}}
\]

Таким образом, основа рівнобедреного трикутника равна \(72^{\circ}\).