Значение разности катетов прямоугольного треугольника составляет 85 дм, а длина его гипотенузы равна 171 дм. Определите

Давайте решим эту задачу пошагово и начнем с вычисления длины катетов прямоугольного треугольника.

Дано, что разность катетов составляет 85 дм, поэтому один из катетов составляет \(85/2 = 42.5\) дм (так как разность делится поровну между двумя катетами). Пусть этот катет обозначим как \(a\).

Далее, известно, что гипотенуза треугольника равна 171 дм. Обозначим гипотенузу как \(c\).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти второй катет. Она утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, у нас есть уравнение:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставим значения для \(a\) и \(c\) в это уравнение:
\[42.5^2 + b^2 = 171^2\]

Вычислим это:
\[1806.25 + b^2 = 29241\]
\[b^2 = 29241 - 1806.25\]
\[b^2 = 27434.75\]

Теперь найдем величину второго катета, взяв квадратный корень обоих сторон уравнения:
\[b = \sqrt{27434.75}\]

Таким образом, мы нашли значения обоих катетов.

Теперь перейдем к вычислению площади треугольника вариантами, используя:

а) уравнения:
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставим значения \(a\) и \(b\) в эту формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 42.5 \cdot \sqrt{27434.75}\]

Таким образом, найдем площадь треугольника, выполнив вычисления.

б) системы уравнений:
Мы также можем использовать систему уравнений для вычисления площади треугольника.

Обозначим площадь треугольника как \(S\). Тогда:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
\[a + b + c = 171\]
\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

Решим эту систему уравнений, подставив значения \(a = 42.5\) и \(c = 171\), которые мы уже нашли:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 42.5 \cdot \sqrt{171^2 - 42.5^2}\]

в) формул сокращенного умножения:
Мы можем использовать формулу сокращенного умножения, чтобы вычислить площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длины его катета на разность катетов.

В нашем случае, площадь будет равна:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 42.5 \cdot 85\]

Теперь у нас есть все необходимые инструкции для нахождения площади треугольника с использованием разных методов.