Заполните пробелы следующими значениями (ответ дан в виде целого числа или конечной десятичной дроби). 1) Сумма корней

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку:

1) Начнем с уравнения \(2y^2 + 15y - 22 = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать формулу для квадратных уравнений:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В данном случае, \(a = 2\), \(b = 15\), и \(c = -22\). Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[y = \frac{{-15 \pm \sqrt{{15^2 - 4 \cdot 2 \cdot -22}}}}{{2 \cdot 2}}\]

Вычисляя это, мы получаем два корня: \(y_1 \approx -4\) и \(y_2 \approx 2.75\).

Теперь мы можем найти сумму и произведение этих корней:

Сумма корней: \(y_1 + y_2 \approx -4 + 2.75 = -1.25\)

Произведение корней: \(y_1 \cdot y_2 \approx -4 \cdot 2.75 = -11\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(2y^2 + 15y - 22 = 0\) равна -1.25, а их произведение равно -11.

2) Перейдем к уравнению \(x^2 + 13x = 0\). Заметим, что здесь есть общий множитель \(x\), поэтому можно вынести его:

\(x(x + 13) = 0\)

Теперь у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -13\).

Сумма корней: \(x_1 + x_2 = 0 + (-13) = -13\)

Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot (-13) = 0\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(x^2 + 13x = 0\) равна -13, а их произведение равно 0.

3) Для уравнения \(z^2 - 78z - 47 = 0\) мы снова будем использовать формулу для квадратных уравнений:

\[z = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Здесь \(a = 1\), \(b = -78\), и \(c = -47\). Подставляя эти значения, получаем:

\[z = \frac{{78 \pm \sqrt{{78^2 - 4 \cdot 1 \cdot -47}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Решая это уравнение, мы находим два корня: \(z_1 \approx 79.87\) и \(z_2 \approx -0.87\).

Сумма корней: \(z_1 + z_2 \approx 79.87 + (-0.87) = 79\)

Произведение корней: \(z_1 \cdot z_2 \approx 79.87 \cdot (-0.87) \approx -69.47\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(z^2 - 78z - 47 = 0\) равна 79, а их произведение равно -69.47.

4) Далее рассмотрим уравнение \(t^2 - 35 = 0\). Здесь нет члена с линейным коэффициентом \(t\), поэтому мы можем перенести 35 на другую сторону уравнения:

\(t^2 = 35\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(t = \sqrt{35}\) или \(t = -\sqrt{35}\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(t_1 = \sqrt{35}\) и \(t_2 = -\sqrt{35}\).

Сумма корней: \(t_1 + t_2 = \sqrt{35} + (-\sqrt{35}) = 0\)

Произведение корней: \(t_1 \cdot t_2 = \sqrt{35} \cdot (-\sqrt{35}) = -35\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(t^2 - 35 = 0\) равна 0, а их произведение равно -35.

5) Перейдем к уравнению \(-m^2 + 42m - 30 = 0\). Это квадратное уравнение с отрицательным лидирующим коэффициентом \(a\), поэтому мы можем упростить его, изменив знак всех коэффициентов:

\(m^2 - 42m + 30 = 0\)

Теперь мы можем использовать формулу для квадратных уравнений:

\[m = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Здесь \(a = 1\), \(b = -42\), и \(c = 30\). Подставляя эти значения, получаем:

\[m = \frac{{42 \pm \sqrt{{(-42)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Вычисляя это, мы получаем два корня: \(m_1 \approx 40.33\) и \(m_2 \approx 1.67\).

Сумма корней: \(m_1 + m_2 \approx 40.33 + 1.67 = 42\)

Произведение корней: \(m_1 \cdot m_2 \approx 40.33 \cdot 1.67 \approx 67.32\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(-m^2 + 42m - 30 = 0\) равна 42, а их произведение равно 67.32.

6) Наконец, рассмотрим уравнение \(p^2 + 31p - 14 = 0\). Используя формулу для квадратных уравнений:

\[p = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Здесь \(a = 1\), \(b = 31\), и \(c = -14\). Подставляя эти значения, получаем:

\[p = \frac{{-31 \pm \sqrt{{31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Вычисляя это, мы находим два корня: \(p_1 \approx -31.56\) и \(p_2 \approx 0.56\).

Сумма корней: \(p_1 + p_2 \approx -31.56 + 0.56 = -31\)

Произведение корней: \(p_1 \cdot p_2 \approx -31.56 \cdot 0.56 \approx -17.7\)

Таким образом, сумма корней уравнения \(p^2 + 31p - 14 = 0\) равна -31, а их произведение равно -17.7.

Надеюсь, этот подробный разбор помог вам понять, как найти сумму и произведение корней в этих уравнениях. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!