Запишіть рівняння залежності швидкості руху від часу для тіла, що рухається за координатою х=-12+4t+6t2, і побудуйте

Щоб записати рівняння залежності швидкості від часу для тіла, необхідно взяти похідну від рівняння залежності координати від часу по відношенню до часу. Похідна від \(х(t)=-12+4t+6t^2\) дорівнює швидкості \(v(t)\).

Давайте обчислимо похідну.

\[v(t) = \frac{{dх(t)}}{{dt}} = \frac{{d(-12+4t+6t^2)}}{{dt}}.\]

Оскільки \(d(-12)\) дорівнює нулю, нам потрібно знайти похідну тільки для \(4t\) та \(6t^2\), використовуючи правило диференціювання константи, правило диференціювання сталої множини на змінну \(x\), правило диференціювання суми та правило диференціювання добутку.

\[v(t) = \frac{{d(-12)}}{{dt}}+\frac{{d(4t)}}{{dt}}+\frac{{d(6t^2)}}{{dt}} = 0 + 4\frac{{dt}}{{dt}} + 6\frac{{d(t^2)}}{{dt}}.\]

Тепер нам потрібно обчислити похідні \(t\) та \(t^2\). Згідно з правилами диференціювання, похідна від змінної \(t\) дорівнює 1, а похідна від \(t^2\) співпадає з правилом степеневої похідної.

\[v(t) = 0 + 4\frac{{dt}}{{dt}} + 6\frac{{d(t^2)}}{{dt}} = 4 + 6(2t).\]

Таким чином, ми отримали рівняння залежності швидкості від часу для тіла:

\[v(t) = 4 + 12t.\]

Тепер давайте побудуємо графік цієї залежності, щоб візуально розглянути зміну швидкості з часом.

\[
\begin{array}{c|c}
t & v(t) \\
\hline
-2 & -20 \\
-1 & -8 \\
0 & 4 \\
1 & 16 \\
2 & 28 \\
\end{array}
\]

Значення швидкості виражено у відиних одиницях.

Зауважимо, що в спостережуваному діапазоні часу графік швидкості є прямою лінією, що підіймається, що відповідає збільшенню значення швидкості з часом.