Запиши вираз для суми всіх натуральних чисел, які не перевищують 190 та при діленні на 5 дають залишок 1. Відповідь

Добро пожаловать в класс математики! Для решения данной задачи нам потребуется выяснить, какие натуральные числа не превышают 190 и при делении на 5 дают остаток 1.

1. Для нахождения этих чисел необходимо рассмотреть натуральные числа, которые могут принимать значение переменной \( n \) в выражении для искомого числа. Поскольку мы ищем числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, значит, они должны быть смещены на 1 по отношению к числам, делящимся на 5. То есть, это числа вида \( 5n + 1 \).

2. Теперь нам нужно определить количество таких натуральных чисел, которые не превышают 190. Для этого мы можем использовать неравенство \( 5n + 1 \leq 190 \), где \( n \) - переменная, описывающая натуральные числа.

Преобразуем данное неравенство:
\begin{align*}
5n + 1 &\leq 190 \\
5n &\leq 189 \\
n &\leq \frac{189}{5} \approx 37.8
\end{align*}

Так как \( n \) должно быть натуральным числом, мы будем округлять \( n \) вниз до ближайшего целого числа. Таким образом, имеем \( n \leq 37 \).

Значит, существует 37 натуральных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи.

3. Наконец, можно записать выражение для суммы заданных чисел. Обозначим сумму всех таких чисел как \( S_n \). Для этого мы будем складывать все возможные значения чисел \( 5n + 1 \) до \( n = 37 \):

\[ S_n = (5 \cdot 1 + 1) + (5 \cdot 2 + 1) + \ldots + (5 \cdot 37 + 1) \]

Чтобы упростить запись, можно заметить, что нам нужно суммировать последовательность арифметической прогрессии с первым членом 6 и разностью 5. То есть, можно переписать сумму следующим образом:

\[ S_n = 6 + 11 + \ldots + 186 + 191 \]

Чтобы найти сумму данной арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Где \( n \) - количество членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( a_n \) - последний член прогрессии.

В данном случае, у нас \( n = 37 \), \( a_1 = 6 \) и \( a_n = 191 \).

Подставим значения в формулу:

\[ S_n = \frac{37}{2} \cdot (6 + 191) \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ S_n = 18.5 \cdot 197 = 3636.5 \]

Однако, по условию задачи мы ищем сумму только натуральных чисел. В данном случае, \( S_n \) является десятичной дробью. Чтобы найти сумму только натуральных чисел, мы округляем результат вниз до ближайшего целого числа:

\[ S_n = 3636 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превышающих 190 и дающих остаток 1 при делении на 5, равна 3636.