Задан ромб АВСD, где на продолжении диагонали АС расположены точки Т и К. Отрезки АТ и СК равны, и обе точки Т

Чтобы доказать, что четырёхугольник ВКДТ является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны.

Предположим, что Т и К лежат на продолжении диагонали АС так, что АТ расположена слева от СК. Докажем, что ВК || ДТ.

Сначала рассмотрим треугольник ТКС. Поскольку отрезки АТ и СК равны, имеем ТК = СТ. Кроме того, поскольку АС является диагональю ромба и, следовательно, его биссектрисой, мы знаем, что угол ВАС равен углу СДА (поскольку они смежные углы), а угол ТАК равен углу КСА (поскольку это вертикальные углы).

Таким образом, в треугольнике ТКС у нас есть две равных стороны (ТК = СТ) и два равных угла (угол ВАС = угол СДА, угол ТАК = угол КСА). Следовательно, по признаку (УУТ) равенства треугольников, треугольник ТКС равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник ДТА. Поскольку ВАС - биссектриса ромба, то угол ВАС равен углу ВАТ, и угол САВ равен углу САТ. Также, поскольку ДА - еще одна диагональ ромба, угол СДА равен углу ДАТ.

Таким образом, в треугольнике ДТА у нас есть две равные стороны (ТД = АТ, ДС = СТ) и два равных угла (угол СДА = угол ДАТ, угол ВАС = угол ВАТ). Следовательно, по признаку (УУТ) равенства треугольников, треугольник ДТА равен треугольнику ВСК.

Итак, мы доказали, что треугольники АДТ и ВСК равны, а также установили, что ВККД является параллелограммом.

Это доказывает, что отрезок ВК || ДТ и отрезок ВД || ТК, что и требовалось доказать.