Задачи на геометрическую прогрессию из открытого банка ФИПИ. 1 - Каждые 7 минут масса радиоактивного изотопа

1 - Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии. Формула: \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\), где \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами).

В данной задаче первый член прогрессии равен 640 мг и знаменатель прогрессии равен 1/2 (изотоп уменьшается в 2 раза каждые 7 минут).

Вычислим массу изотопа через 42 минуты:

\[a_{42} = 640 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{(42-1)}\]

\[a_{42} = 640 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{41}\]

Рассчитаем это выражение:

\[a_{42} \approx 640 \cdot \left(0.5\right)^{41} \approx 0.3125\]

Масса изотопа через 42 минуты составляет примерно 0.3125 мг.

2 - Для решения этой задачи мы также используем формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии равен 13 мг, а знаменатель прогрессии равен 3 (масса колонии увеличивается в 3 раза каждые 30 минут).

Найдем массу колонии микроорганизмов через 90 минут:

\[a_{90} = 13 \cdot 3^{(90/30-1)}\]

\[a_{90} = 13 \cdot 3^{2}\]

\[a_{90} = 13 \cdot 9 = 117\]

Масса колонии микроорганизмов через 90 минут составляет 117 мг.

3 - В ходе бета-распада радиоактивного элемента его масса уменьшается в 2 раза каждые 10 часов.

Предположим, что начальная масса радиоактивного элемента равна \(M\) мг. Через \(t\) часов масса будет уменьшаться до \(M \cdot 2^{(t/10)}\).

Давайте решим эту задачу, определив массу радиоактивного элемента через 30 часов:

\[M_{30} = M \cdot 2^{(30/10)} = M \cdot 2^3 = M \cdot 8\]

Таким образом, масса радиоактивного элемента через 30 часов составит 8M мг.