Каков самый маленький положительный период функции y=tg(2x+4)? Будет ли утверждение верным, что функция y=sin25x

Задача 1:
Функция $y=\tan (2x+4)$ является трансцендентной функцией тангенса и имеет период $\pi$. Для определения наименьшего положительного периода, нужно найти значение $T$, при котором функция повторяется.

Период функции тангенса равен $\pi$, следовательно, общий вид для нахождения наименьшего положительного периода $\tau$ может быть записан как $\tau =\frac{\pi }{k}$, где $k$ - целое число.

Таким образом, чтобы найти наименьший положительный период для функции $y=\tan (2x+4)$, нужно найти наименьшее целое $k$, для которого $\frac{\pi }{k}$ будет равно периоду функции.

В данном случае, $k=2$ является наименьшим целым числом, при котором $\frac{\pi }{k}$ равно периоду функции. Подставляя значение $k=2$ обратно в формулу, получаем:

$\tau =\frac{\pi }{2}$

Таким образом, наименьший положительный период функции $y=\tan (2x+4)$ равен $\frac{\pi }{2}$.

Задача 2:
Утверждение, что функция $y=\sin (25x)$ является периодической с периодом $T=\frac{\pi }{25}$, верно.

Для определения периода функции $y=\sin (25x)$, нужно найти значение $T$, при котором функция повторяется.

Период функции синуса равен $\frac{2\pi }{|a|}$, где $a$ - коэффициент при $x$. В этом случае, $a=25$, поэтому период функции $y=\sin (25x)$ равен:

$T=\frac{2\pi }{|25|}=\frac{\pi }{25}$

Таким образом, утверждение верно.

Задача 3:
Для нахождения корней уравнения $\cos (x+4\pi )+\cos (x-8\pi )=0$ нужно применить тригонометрический тождество суммы углов для косинуса:

$\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$

Применим это тождество для первого слагаемого:

$\cos (x+4\pi )=\cos (x)\cos (4\pi )-\sin (x)\sin (4\pi )$

Учитывая, что $\cos (4\pi )=1$ и $\sin (4\pi )=0$, получаем:

$\cos (x+4\pi )=\cos (x)$

Аналогично применим тождество для второго слагаемого:

$\cos (x-8\pi )=\cos (x)\cos (-8\pi )-\sin (x)\sin (-8\pi )$

Учитывая, что $\cos (-8\pi )=1$ и $\sin (-8\pi )=0$, получаем:

$\cos (x-8\pi )=\cos (x)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\cos (x)+\cos (x)=0$

$2\cos (x)=0$

$\cos (x)=0$

Корни уравнения $\cos (x+4\pi )+\cos (x-8\pi )=0$ соответствуют значениям $x$ при которых $\cos (x)=0$. Значит, уравнение имеет корни, равные $\pm \pi /2+2\pi k$, где $k$ - целое число.

Задача 4:
Область определения функции $y=\sin (\sqrt{6x})$ определяется значением аргумента, при котором функция определена.

В данном случае, значение подкоренного выражения $\sqrt{6x}$ должно быть неотрицательным или равным нулю:

$\sqrt{6x}\ge 0$

Так как квадратный корень от неотрицательного числа всегда неотрицательный, получаем:

$6x\ge 0$

Делая обратную замену, получаем:

$x\ge 0$

Таким образом, область определения функции $y=\sin (\sqrt{6x})$ равна $[0,+\mathrm{\infty })$. Ответ: нет, область определения функции не является равной $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.