Каков самый маленький положительный период функции y=tg(2x+4)? Будет ли утверждение верным, что функция y=sin25x

Задача 1:
Функция \(y = \tan(2x+4)\) является трансцендентной функцией тангенса и имеет период \(\pi\). Для определения наименьшего положительного периода, нужно найти значение \(T\), при котором функция повторяется.

Период функции тангенса равен \(\pi\), следовательно, общий вид для нахождения наименьшего положительного периода \(\tau\) может быть записан как \(\tau = \frac{\pi}{k}\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, чтобы найти наименьший положительный период для функции \(y = \tan(2x+4)\), нужно найти наименьшее целое \(k\), для которого \(\frac{\pi}{k}\) будет равно периоду функции.

В данном случае, \(k = 2\) является наименьшим целым числом, при котором \(\frac{\pi}{k}\) равно периоду функции. Подставляя значение \(k = 2\) обратно в формулу, получаем:

\(\tau = \frac{\pi}{2}\)

Таким образом, наименьший положительный период функции \(y = \tan(2x+4)\) равен \(\frac{\pi}{2}\).

Задача 2:
Утверждение, что функция \(y = \sin(25x)\) является периодической с периодом \(T = \frac{\pi}{25}\), верно.

Для определения периода функции \(y = \sin(25x)\), нужно найти значение \(T\), при котором функция повторяется.

Период функции синуса равен \(\frac{2\pi}{|a|}\), где \(a\) - коэффициент при \(x\). В этом случае, \(a = 25\), поэтому период функции \(y = \sin(25x)\) равен:

\(T = \frac{2\pi}{|25|} = \frac{\pi}{25}\)

Таким образом, утверждение верно.

Задача 3:
Для нахождения корней уравнения \(\cos(x+4\pi)+\cos(x-8\pi) = 0\) нужно применить тригонометрический тождество суммы углов для косинуса:

\(\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\)

Применим это тождество для первого слагаемого:

\(\cos(x+4\pi) = \cos(x)\cos(4\pi) - \sin(x)\sin(4\pi)\)

Учитывая, что \(\cos(4\pi) = 1\) и \(\sin(4\pi) = 0\), получаем:

\(\cos(x+4\pi) = \cos(x)\)

Аналогично применим тождество для второго слагаемого:

\(\cos(x-8\pi) = \cos(x)\cos(-8\pi) - \sin(x)\sin(-8\pi)\)

Учитывая, что \(\cos(-8\pi) = 1\) и \(\sin(-8\pi) = 0\), получаем:

\(\cos(x-8\pi) = \cos(x)\)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\(\cos(x) + \cos(x) = 0\)

\(2\cos(x) = 0\)

\(\cos(x) = 0\)

Корни уравнения \(\cos(x+4\pi)+\cos(x-8\pi) = 0\) соответствуют значениям \(x\) при которых \(\cos(x) = 0\). Значит, уравнение имеет корни, равные \(\pm\pi/2 + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Задача 4:
Область определения функции \(y = \sin(\sqrt{6x})\) определяется значением аргумента, при котором функция определена.

В данном случае, значение подкоренного выражения \(\sqrt{6x}\) должно быть неотрицательным или равным нулю:

\(\sqrt{6x} \geq 0\)

Так как квадратный корень от неотрицательного числа всегда неотрицательный, получаем:

\(6x \geq 0\)

Делая обратную замену, получаем:

\(x \geq 0\)

Таким образом, область определения функции \(y = \sin(\sqrt{6x})\) равна \([0, +\infty)\). Ответ: нет, область определения функции не является равной \((-\infty, +\infty)\).